Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex4228] centrale MP 2011

1. Soient \(a\), \(b\), \(c\) des réels tels que \(b\leqslant c\). Montrer que \(a\) est dans \([b,c]\) si et seulement s’il existe \(y\) et \(z\) dans \(\mathbf{R}\) tels que : \(y^2+z^2=1\), \(by^2+cz^2=a\).

2. Soient \(a\), \(b\), \(c\) des réels tels que \(b\leqslant a\leqslant c\). Montrer qu’existent \(\alpha\) dans \(\mathbf{R}\) et \(P\) dans \(\mathscr{O}_3(\mathbf{R})\) tels que : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(a,b,c)={}^tP\left(\begin{array}{ccc}a&0&0\\0&a&\alpha\\ 0&\alpha&b+c-a\end{array}\right)P\).

3. Soient \(\mathscr{E}\) un ellipsoïde de \(\mathbf{R}^3\) centré en l’origine. Montrer qu’existe un plan \(P\) passant par l’origine tel que \(P\cap\mathscr{E}\) soit un cercle. Montre que les plans parallèles à \(P\) qui coupent \(\mathscr{E}\) le coupent selon un cercle. Déterminer les plans coupant \(\mathscr{E}\) selon un cercle.

[concours/ex3346] centrale M 1993

1. Soit \(E\) un espace euclidien de dimension finie \(n\), et \(u\) un endomorphisme symétrique de \(E\). On pose : \[\mathscr{C}=\{x\in E\mid(u(x)\mid x)=0\}.\] Montrer que \(\mathscr{C}\) contient une base orthonormée si, et seulement si, \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits u=0\).

2. Dans l’espace affine euclidien \(\mathbf{R}^3\), on considère la parabole \((\mathscr{P})\) : \(y^2=2px\), \(z=0\). Déterminer les points \(M\) de l’espace tels qu’il passe par \(M\) trois droites orthogonales s’appuyant sur \((\mathscr{P})\).

[fct.R2/ex0999] Représenter l’ensemble des points de l’espace dont les coordonnées vérifient : \[x^2+y^2<z<x+y.\]

[oraux/ex3675] polytechnique MP 2011 Dans \(\mathbf{R}^3\) muni de sa structure euclidienne standard, on considère deux ellipsoïdes \(\mathscr{E}\) et \(\mathscr{E}'\) (non nécessairement concentriques) tels que le domaine intérieur à \(\mathscr{E}\) soit inclus dans le domaine intérieur à \(\mathscr{E}'\). Comparer les demi-axes de \(\mathscr{E}\) et \(\mathscr{E}'\).

[fct.R2/ex0457] Trouver les points où la droite \(\displaystyle{x-6\over3}={y+2\over-6}={z-2\over-4}\) coupe l’ellipsoïde \(\displaystyle{x^2\over81}+{y^2\over36}+{z^2\over9}=1\).