Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex0985] centrale MP 1997 Soit \(\mathscr{P}\) le paraboloïde de révolution défini par \(\mathscr{P}:x^2+y^2=2pz\) (avec \(p>0\)). Trouver le lieu des centres des ellipses d’excentricité \(\displaystyle{1\over\sqrt 2}\) contenues dans \(\mathscr{P}\).

[oraux/ex1863] centrale MP 2009

1. Montrer qu’un ellipsoïde, un paraboloïde elliptique et un hyperboloïde à deux nappes ne sont pas des surfaces réglées.

2. Soit \(\mathscr{P}\mathscr{H}\) un paraboloïde hyperbolique d’équation cartésienne réduite \(\displaystyle{z^2\over a^2}-{y^2\over b^2}=2z\) avec \(a>0\) et \(b>0\).

   1. Montrer que, par tout point \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) de \(\mathscr{P}\mathscr{H}\) passent deux droites incluses dans \(\mathscr{P}\mathscr{H}\).

   2. Proposer un paramétrage de \(\mathscr{P}\mathscr{H}\) de la forme \((u,t)\mapsto M(u,t)\) où \(M(u,0)=(au,0,u^2/2)\) et tel que, pour tout \(u\), \(t\mapsto M(u,t)\) paramètre une droite.

   3. Proposer un paramétrage \((\lambda,\mu)\mapsto P(u,t)\) de \(\mathscr{P}\mathscr{H}\)tel que, pour tout \(\lambda\), \(\mu\mapsto P(\lambda,\mu)\) paramètre une droite, et pour tout \(\mu\), \(\lambda\mapsto P(\lambda,\mu)\) paramètre une droite.

[oraux/ex1892] centrale PC 2010 (avec Maple)

Soient \(f:(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\mapsto2x^2+y^2+2z^2+2xy+2yz+2xz\) et \(g:(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\setminus\{(0,0,0)\}\mapsto\displaystyle{f(x,y,z)\over x^2+y^2+z^2}\).

1. Représenter la surface d’équation \(f(x,y,z)=1\). Déterminer son type.

2. Montrer que \(g\) admet un minimum et un maximum. Déterminer les points en lesquels ils sont atteints et les valeurs de ces extrema.

3. Soit \(u\in\mathscr{S}(\mathbf{R}^3)\) de valeurs propres \((\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)\). Montrer : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(\lambda_1\|x\|^2\leqslant\langle u(x),x\rangle\leqslant\lambda_3\|x\|^2\). Interpréter le résultat de la question précédente.

[oraux/ex1692] centrale PC 2009 Soit \(\mathscr{C}\) la courbe définie par : \(x(t)=a\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^3t\), \(y(t)=a\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^3t\), \(z(t)=a\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(2t)\). On note \(\mathscr{S}\) la surface de révolution autour de \((Oz)\) générée par \(\mathscr{C}\).

1. Donner une équation d’une méridienne de \(\mathscr{S}\).

2. Montrer que \(\mathscr{S}\) est contenue dans une quadrique que l’on précisera.

[concours/ex1191] polytechnique PC 1998 Soit \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}+{z^2\over c^2}=1\), où \(a\), \(b\) et \(c\) sont trois réels non nuls. Trouver l’ensemble des points \(P\) par lesquels passent trois plans tangents à \(\mathscr{S}\) et perpendiculaires deux à deux.