Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex1884] centrale MP 2010 (avec Maple)

Soit \(p\) dans \(\mathbf{R}_+^*\). La surface \(S\) est définie par \(M(u,v)=\left(\displaystyle{u^2\over2p},u\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(v),u\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(v)\right)\).

1. Représenter \(S\) avec Maple.

2. Identifier \(S\).

3. Donner un vecteur normal à \(S\) au point de paramètre \((u,v)\).

4. Identifier le lieu des points qui sont centre d’une sphère tangente à \(S\) passant par \(F=(p/2,0,0)\). Interprétation de \(p\) ?

[planches/ex4730] polytechnique MP 2019 Décrire et représenter \(\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\ ;\ x^2+y^2-2xz=0\}\).

[oraux/ex1803] tpe PC 2005 Trouver le lieu \((S)\) des points équidistants de l’axe \(Oz\) et de la droite d’équation \(\left\{\begin{array}{l}x+y-1=0\\z=0.\end{array}\right.\) Trouver les droites incluses dans \((S)\).

[concours/ex3817] centrale M 1992 Trouver les nappes de \(\mathbf{R}^3\) sous la forme \[M=O+x\,\mathchoice{\overrightarrow{i}}{\overrightarrow{i}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle i}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle i}}+y\,\mathchoice{\overrightarrow{j}}{\overrightarrow{j}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle j}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle j}}+f(x,y)\,\mathchoice{\overrightarrow{k}}{\overrightarrow{k}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle k}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle k}}\] telles que le point \(P\), intersection de la normale en \(M\) avec le plan \(z=0\) vérifie \(\mathchoice{\overrightarrow{OM}}{\overrightarrow{OM}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OM}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OM}}\cdot\mathchoice{\overrightarrow{OP}}{\overrightarrow{OP}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OP}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OP}}=0\). Montrer que parmi les solutions figurent certaines portions de quadriques.

[oraux/ex1793] centrale PC 2005 Nature de la surface \((S)\) de \(\mathbf{R}^3\) définie par : \((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=k\). Est-elle de révolution ?