Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex9497] polytechnique MP 2005 Soit \(P\in\mathbf{C}[X]\). Trouver les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(P(A)=0\).

[concours/ex1418] centrale MP 1998 Soit \(A\in\mathscr{M}_N(\mathbf{C})\) diagonalisable, \(P\) un polynôme de degré supérieur à \(1\). On cherche les \(M\in\mathscr{M}_N(\mathbf{C})\) telles que \(P(M)=A\). Trouver des solutions particulières. Trouver toutes les solutions dans le cas où le polynôme caractéristique de \(A\) n’a que des racines simples.

[concours/ex9401] centrale 2003

1. Soit \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) et \(P\) un polynôme complexe non nul sont les racines sont simples et de modules \(<1\). On suppose \(P(B)=0\). Montrer que \(B=0\).

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\), \(d\) et \(k\) entiers, \(k\geqslant 1\) et \(d\geqslant 3\). On suppose \(A\equiv I_n\bmod d\) et \(A^k=I_n\). Montrer que \(A=I_n\).

3. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) est l’ensemble des matrices de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) dont le déterminant est égal à 1 ou à \(-1\).

4. Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\). Soit \(p\) un nombre premier, \(p\geqslant 3\). On note, pour tout \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\), \(\overline M\) la réduite de \(M\) modulo \(p\).

   Montrer que \(M\mapsto\overline M\) est injective sur \(G\). Qu’en déduit-on sur le cardinal de \(G\) ?

[oraux/ex7556] polytechnique, espci PC 2014 Soit \(P\) un polynôme réel non constant. Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(P(M)=0\) ? Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) tel que \(P(M)=0\) ?

[examen/ex0132] mines PC 2023

1. Soit \(u\) un endomorphisme. Prouver que pour tout \(k\in\mathbf{N}\) on a \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u^k)\subset\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u^{k+1})\) et que, si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u^k)=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u^{k+1})\), alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u^k)=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u^{k+2})\).

2. Existe-t-il un endomorphisme \(u\) de \(\mathbf{R} [X]\) tel que \(\forall P\in\mathbf{R}[X]\), \(u\mathbin{\circ} u(P)=P'\) ?