Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex8517] centrale MP 2022 On note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) l’ensemble des matrices \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) telles que \(M\) et \(M^{-1}\) sont à coefficients entiers.

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})=\{M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\ ;\ |\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M|=1\}\).

2. Soient \(d\in\mathbf{N}^*\), \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^d=I_n\) et \(A=(M-I_n)/3\). Étudier la convergence de la suite \((A^k)\).

3. Déterminer un majorant \(K_n\) du cardinal des sous-groupes finis de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\).

[concours/ex9557] centrale PSI 2005 Soit \(A=\left(\begin{array}{cccc}1&2&1&2\\2&1&2&1\\1&2&1&2\\2&1&2&1\end{array} \right)\).

1. Diagonaliser \(A\).

2. Résoudre dans \(\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\) : \(M^2+2M=A\).

[oraux/ex7818] centrale MP 2016 Soient \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), \(\mathbf{K}\) un corps, \(P\) un élément de \(\mathbf{K}[X]\) non constant. On cherche s’il existe \(A\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{K})\) telle que \(P(A)=0\).

1. Traiter le cas \(\mathbf{K}=\mathbf{C}\).

2. Traiter le cas \(\mathbf{K}=\mathbf{R}\).

3. Traiter le cas \(\mathbf{K}=\mathbf{Q}\), \(P=X^3-X-1\).

[oraux/ex7242] centrale MP 2015 Soit \(D:P\in\mathbf{R}[X]\mapsto P'\in\mathbf{R}[X]\). Déterminer les \((k,p)\in(\mathbf{N}^*)^2\) tels que : \(\exists g\in\mathscr{L}(\mathbf{R}[X])\), \(g^k=D^p\).

[planches/ex4891] mines MP 2019 Soient \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) et \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) nilpotente. On suppose que \(AN=NA\). Montrer qu’il existe \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(B^2=A+N\).