Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex8517] centrale MP 2022 On note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) l’ensemble des matrices \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) telles que \(M\) et \(M^{-1}\) sont à coefficients entiers.

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})=\{M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\ ;\ |\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M|=1\}\).

2. Soient \(d\in\mathbf{N}^*\), \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^d=I_n\) et \(A=(M-I_n)/3\). Étudier la convergence de la suite \((A^k)\).

3. Déterminer un majorant \(K_n\) du cardinal des sous-groupes finis de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\).

[oraux/ex7818] centrale MP 2016 Soient \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), \(\mathbf{K}\) un corps, \(P\) un élément de \(\mathbf{K}[X]\) non constant. On cherche s’il existe \(A\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{K})\) telle que \(P(A)=0\).

1. Traiter le cas \(\mathbf{K}=\mathbf{C}\).

2. Traiter le cas \(\mathbf{K}=\mathbf{R}\).

3. Traiter le cas \(\mathbf{K}=\mathbf{Q}\), \(P=X^3-X-1\).

[concours/ex9781] polytechnique MP 2009 Soient \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) et \(p\) un entier non nul tels que \(A^p=I_n\). On suppose qu’il existe un entier \(m\geqslant 3\) tel que \(A\equiv I_n\bmod m\). Montrer : \(A=I_n\).

[oraux/ex7460] centrale MP 2013

1. Expliciter une matrice \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{Z})\) telle que \(A^3=I_2\) et \(A\neq I_2\).

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\). On suppose qu’il existe \(k\in\mathbf{N}^*\) tel que \(A^p=I_n\), et que \(A-I_n\) est à coefficients pairs. On note \(B=(A-I_n)/2\) (qui est à coefficients entiers).

   1. Montrer que les valeurs propres de \(B\) appartiennent toutes au cercle de centre \(-1/2\) et de rayon \(1/2\).

   2. Montrer qu’il existe deux entiers naturels \(a\) et \(b\) ainsi qu’un polynôme \(P\in\mathbf{Z}[X]\) unitaire tel que \(\chi_B=X^a(1-X)^bP(X)\), \(P(0)\neq0\) et \(P(1)\neq0\).

   3. Montrer que \(P\) est constant. En déduire \(A^2=I_n\).

3. Soient \(p\geqslant 3\) entier et \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\). On suppose qu’il existe \(k\in\mathbf{N}^*\) tel que \(A^k=I_n\) et que tous les coefficients de \(A-I_n\) sont divisibles par \(p\). Montrer que \(A=I_n\).

4. On note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})=\{A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R}),\ A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\hbox{ et }A^{-1}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\}\). Montrer que \((\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z}),{\times})\) est un groupe.

5. Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\). Montrer que deux matrices \(A=(a_{i,j})\) et \(B=(b_{i,j})\) de \(G\) vérifiant \(\forall(i,j)\in[[1,n]]^2\), \(a_{i,j}=b_{i,j}\pmod p\) sont nécessairement égales.

[concours/ex9497] polytechnique MP 2005 Soit \(P\in\mathbf{C}[X]\). Trouver les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(P(A)=0\).