Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7478] centrale PC 2013 Soient \(P_1=X^3-12X-12\) et \(P_2=X^3+12X-12\).

1. Trouver \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(P_1(M)=0\). La matrice \(M\) est-elle diagonalisable ?

2. Trouver les \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(P_2(M)=0\) avec \(M\not\in\mathbf{R} I_n\).

3. On cherche les racines de \(P_2\). On pose \(z=u+v\) avec \((u,v)\in\mathbf{C}^2\) tel que \(u^3+v^3=12\), \(uv=-4\). Déterminer les racines de \(P_2\) en fonction de \(\sqrt[3]2\) et \(j\).