Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex9847] mines PC 2009

1. Soient \(P\in\mathbf{C}[X]\) non constant et \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisable . Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(P(M)=A\).

2. Déterminer les matrices \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telles que : \(M^2=I_2\), puis telles que \(M^2+M=I_2\).

[concours/ex4072] mines M 1990 Résoudre \(X^2=\left[\begin{array}{ccc} 1&0&0\\1&1&0\\1&0&4\end{array}\right]\).

[oraux/ex7556] polytechnique, espci PC 2014 Soit \(P\) un polynôme réel non constant. Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(P(M)=0\) ? Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) tel que \(P(M)=0\) ?

[oraux/ex3022] polytechnique, espci PC 2009 Soient \(E=\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \(D:f\mapsto f'\). Existe-t-il \(T\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(T\mathbin{\circ} T=D\) ?

[planches/ex4887] mines MP 2019

1. Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisable, \(P\in\mathbf{C}[X]\) non constant. Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(P(M)=A\).

2. Donner un exemple montrant que le résultat précédent ne se généralise pas au cas où \(A\) n’est pas diagonalisable.