Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex5779] mines PSI 2007 Soit \(P\in\mathbf{C}[X]\) avec \(\mathop{\mathchoice{\hbox{deg}}{\hbox{deg}}{\mathrm{deg}}{\mathrm{deg}}}\nolimits P\geqslant 1\) et \(A\) diagonalisable dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(P(M)=A\).

[oraux/ex3022] polytechnique, espci PC 2009 Soient \(E=\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \(D:f\mapsto f'\). Existe-t-il \(T\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(T\mathbin{\circ} T=D\) ?

[planches/ex7846] polytechnique, espci PC 2022 Soit \(P\in\mathbf{R}[X]\) non constant. Soit \(n\) un entier \({}\geqslant 2\). Donner une condition nécessaire et suffisante sur \((P,n)\) pour qu’il existe \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(P(A)=0\).

[concours/ex9424] mines 2004

1. Soit \(P\) dans \(\mathbf{C}[X]\) non constant. Existe-t-il \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(P(A)=0\) ?

2. Soit \(P\) dans \(\mathbf{R}[X]\) non constant. Existe-t-il \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(P(A)=0\) ?

[oraux/ex6308] escp S 2016 Soient \(m,\, n\) et \(p\) trois entiers naturels avec \(p\) impair et \(m \geqslant 2\). Soient \(A\) et \(B\) deux matrices de \({\cal M}_n(\mathbf{R})\) à coefficients entiers telles que \(A\) soit symétrique, et \[A = I_n + m B\quad\hbox{et}\quad A^p = I_n.\]

1. Soit \((u_k)_{k\in\mathbf{N}}\) une suite d’entiers telle que \((u_k)_k\) converge. Montrer que \((u_k)_k\) est constante à partir d’un certain rang.

2. Soit \(\omega = e^{2i\pi/p}\). Montrer que \(\omega^p = 1\), puis en déduire l’ensemble \({\cal R}\) des racines du polynôme \(X^p -1\).

3. Montrer que si \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\), alors \(\lambda\in {\cal R}\).

4. 1. Montrer que \(B\) est diagonalisable et que ses valeurs propres sont toutes de module strictement inférieur à \(1\).

   2. En notant, pour tout entier naturel \(k\), \(B^k =(b_{i,j}^{(k)})_{1\leqslant i, j\leqslant n}\), montrer que l’on a : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{k\rightarrow+\infty}b_{i,j}^{(k)} = 0\).

   3. En déduire que \(A = I_n\).