Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex6571] polytechnique, espci PC 2021

1. Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(B)\) si, et seulement si il existe \(P\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) inversible telle que \(B=PA\).

2. Soit \(A\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que pour toute matrice \(P\) inversible, la matrice \(PA\) est diagonalisable. Que dire de \(A\) ?

[concours/ex9364] mines 2003 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{K})\) telle que \(A^3=0\). Existe-t-il \(B\) telle que \(B^2=I+A\) ?

[oraux/ex8579] imt MP 2016 Soient \(E\) un \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\geqslant 1\) et \(u\in\mathscr{L}(E)\) un endomorphisme ayant \(n\) valeurs propres distinctes.

1. Que peut-on dire de \(u\) ?

2. Montrer que si \(g\in\mathscr{L}(E)\) est solution de l’équation \((E)\) : \(g^2=u\), alors tout vecteur propre de \(u\) est aussi vecteur propre de \(g\).

3. Combien l’équation \((E)\) admet-elle de solutions ?

[concours/ex9700] mines PSI 2008 Soient \(m\) et \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\) avec \(m\) impair, \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) diagonalisable. Trouver les \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(M^m=A\).

[oraux/ex7810] centrale MP 2016 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\geqslant 2\), \(f\in\mathscr{L}(E)\) et \(P=X^2+aX+b\in\mathbf{R}[X]\) un polynôme annulateur de \(f\) sans zéro réel.

1. Montrer que \(f\) n’a pas de valeur propre et que \(n\) est pair.

2. Le but est de trouver une base \(e\) de \(E\) dans laquelle la matrice de \(f\) est diagonale par blocs, les blocs étant tous égaux à \(A=\pmatrix{0&-b\cr1&-a}\). Soient \(x\in E\) non nul et \(y=f(x)\). Montrer que \(H_x=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(x,y)\) est un plan stable par \(f\). En déduire le résultat souhaité.