Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex5587] mines MP 2007 Soit \(M=\left(\begin{array}{ccccc} 0&\cdots&\cdots&\cdots&0\\1&0&&&\vdots\\ 0&1&\ddots&&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&1&0\end{array}\right)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) nilpotente de rang \(n-1\). Montrer que \(A\) est semblable à \(M\).

2. Soit \(J(\lambda)=\lambda I_n+M\) avec \(\lambda\in\mathbf{C}\). Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits J(0)\). Montrer que \(J(\lambda)\in\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(\mathscr{M}_n(\mathbf{R}))\) pour \(\lambda\in\mathbf{R}^*\).

[planches/ex4645] polytechnique MP 2019 Soit \(a\in\mathbf{C}\). Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) l’équation \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(M)=\pmatrix{1&a\cr0&1}\).

[concours/ex5320] ens PC 2007

1. Si \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\), comment peut-on définir \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits A\) ?

2. Soient \(A\) et \(B\) deux matrices semblables de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Que dire de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits A\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits B\) ?

3. Existe-t-il \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(A)=\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)\) ?

[oraux/ex4041] mines PC 2011 Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(M^3-4M^2+4M=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=0\).

[planches/ex2004] mines MP 2017 Soient \(n\geqslant 2\), \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) nilpotente d’indice \(n\) et \(\lambda\in\mathbf{C}^*\). Montrer qu’il existe \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(\lambda I_n+A=\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(B)\).