Édition de feuilles d'exercices

[geo.affine/ex0651] Soit \(ABC\) un triangle, \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) ; on note \(r\) le rayon du cercle inscrit dans \(ABC\).

Montrer : \[r={a+b+c\over2\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{cotan}}{\hbox{cotan}}{\mathrm{cotan}}{\mathrm{cotan}}}\nolimits\displaystyle{\widehat A\over2}+\mathop{\mathchoice{\hbox{cotan}}{\hbox{cotan}}{\mathrm{cotan}}{\mathrm{cotan}}}\nolimits\displaystyle{\widehat B\over2}+\mathop{\mathchoice{\hbox{cotan}}{\hbox{cotan}}{\mathrm{cotan}}{\mathrm{cotan}}}\nolimits\displaystyle{\widehat C\over2}\right)}.\]

[examen/ex1390] polytechnique MP 2024 Soit \(P\) un polynôme réel de degré \(6\). Une droite \(D\) est tangente à la courbe \(C_P\) en trois points \(A\), \(B\), \(C\) d’abscisses \(a<b<c\).

1. On suppose que \(AB=BC\). Montrer que les aires délimitées par \([BC]\) et \(C_P\) d’une part, et par \([AB]\) et \(C_P\) d’autre part, sont égales.

2. On pose : \(q =\displaystyle\frac {BC}{AB}\) et \(Q =\displaystyle\frac{A_1}{A_2}\) avec \(A_1\) et \(A_2\) les aires susmentionnées. Montrer que : \(\displaystyle\frac {2}{7}q^5\leqslant Q\leqslant\frac {7}{2}q^5\).

[geo.affine/ex0650] Soit \(ABC\) un triangle ; on note \(R\) le rayon du cercle circonscrit à \(ABC\).

Montrer la formule de Carnot : \[R+r=R(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat A+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat B+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat C).\]

[geo.affine/ex0652] Soit \(ABC\) un triangle, \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) ; on note \(\beta_A\) (resp. \(\beta_B\), \(\beta_C\)) la longueur de la bissectrice intérieure issue de \(A\) (resp. \(B\), \(C\)).

Montrer : \[\beta_A={2bc\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\displaystyle{\widehat A\over2}\over b+c},\quad \beta_B={2ca\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\displaystyle{\widehat B\over2}\over c+a},\quad \beta_C={2ab\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\displaystyle{\widehat C\over2}\over a+b}.\]

[geo.affine/ex0644] Soit \(ABC\) un triangle, \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) ; on note \(M\), \(N\), \(P\) les milieux respectifs de \(BC\), \(CA\), \(AB\).

Calculer les longueurs \(AM\), \(BN\), \(CP\) des médianes de \(ABC\) en fonction de \(a\), \(b\), \(c\).