Édition de feuilles d'exercices

[geo.affine/ex0758] Soit \(G\) le centre de gravité d’un triangle \(ABC\), de côtés \(a\), \(b\), \(c\). Montrer que si \(O\) est le centre du cercle circonscrit à \(ABC\) et \(R\) son rayon, alors : \[OG^2=R^2-{1\over9}(a^2+b^2+c^2).\]

[examen/ex1390] polytechnique MP 2024 Soit \(P\) un polynôme réel de degré \(6\). Une droite \(D\) est tangente à la courbe \(C_P\) en trois points \(A\), \(B\), \(C\) d’abscisses \(a<b<c\).

1. On suppose que \(AB=BC\). Montrer que les aires délimitées par \([BC]\) et \(C_P\) d’une part, et par \([AB]\) et \(C_P\) d’autre part, sont égales.

2. On pose : \(q =\displaystyle\frac {BC}{AB}\) et \(Q =\displaystyle\frac{A_1}{A_2}\) avec \(A_1\) et \(A_2\) les aires susmentionnées. Montrer que : \(\displaystyle\frac {2}{7}q^5\leqslant Q\leqslant\frac {7}{2}q^5\).

[concours/ex3551] polytechnique M 1992 Soit trois droites du plan euclidien définies par leurs équations dans un repère orthonormé : \[ax+by+c=0,\quad a'x+b'y+c'=0,\quad a''x+b''y+c''=0.\] Soit \(S\) l’aire du triangle formé par ces trois droites. Montrer que : \[2S={\left| \begin{array}{ccc}a&b&c\\a'&b'&c'\\a''&b''&c''\end{array} \right|^{\!2}\over \left|\vphantom{|_|}(ab'-a'b)(ab''-a''b)(a'b''-a''b')\right|}.\]

[geo.affine/ex0640] Soit \(ABC\) un triangle.

Montrer que \(ABC\) est rectangle si et seulement si : \[\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2\widehat A+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2\widehat B+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2\widehat C=1.\]

[geo.affine/ex1170] Montrer que l’aire d’un quadrilatère est la moitié du produit de ses diagonales par le sinus de l’angle entre elles.