Édition de feuilles d'exercices

[geo.affine/ex0650] Soit \(ABC\) un triangle ; on note \(R\) le rayon du cercle circonscrit à \(ABC\).

Montrer la formule de Carnot : \[R+r=R(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat A+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat B+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat C).\]

[geo.affine/ex0649] Soit \(ABC\) un triangle, \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) ; on note \(S\) l’aire de \(ABC\), et \(r_A\) (resp. \(r_B\), \(r_C\)) le rayon du cercle exinscrit dans l’angle \(\widehat A\) (resp. \(\widehat B\), \(\widehat C\)) de \(ABC\).

Montrer : \[r_A={2S\over-a+b+c},\quad r_B={2S\over a-b+c},\quad r_C={2S\over a+b-c}.\]

[concours/ex5762] mines MP 2007 Trois droites \(\mathscr{D}_1\), \(\mathscr{D}_2\), \(\mathscr{D}_3\) se coupent en formant un triangle équilatéral de côté \(a\). Si \(M_1\), \(M_2\), et \(M_3\) appartiennent respectivement à \(\mathscr{D}_1\), \(\mathscr{D}_2\) et \(\mathscr{D}_3\), on note \(S(M_1,M_2,M_3)=\displaystyle\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant 3}M_iM_j^2\). Montrer que \(S\) possède un minimum global. En quels points est-il atteint ?

[oraux/ex1490] polytechnique MP 2005 Soient \((A,B,C)\) un repère affine du plan \(\mathscr{P}\), et \(O\), \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\) quatre points de \(\mathscr{P}\). On suppose : \(\forall i\in\{1,2,3\}\), \(\mathchoice{\overrightarrow{OM_i}}{\overrightarrow{OM_i}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OM_i}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OM_i}}=x_i\mathchoice{\overrightarrow{OA}}{\overrightarrow{OA}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OA}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OA}}+y_i\mathchoice{\overrightarrow{OB}}{\overrightarrow{OB}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OB}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OB}}+z_i\mathchoice{\overrightarrow{OC}}{\overrightarrow{OC}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OC}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OC}}\), où \((x_i,y_i,z_i)\in\mathbf{R}^3\) vérifie \(x_i+y_i+z_i=1\). Montrer que : \[\left|\begin{array}{ccc}x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\end{array} \right|=\pm{\hbox{Aire}(M_1M_2M_3)\over\hbox{Aire}(ABC)}.\]

[concours/ex6456] polytechnique MP 2006 On note \(\mathscr{A}\) l’ensemble des triplets \((a,b,c)\) de réels strictement positifs tels que \(a+b\geqslant c\), \(bc\geqslant a\) et \(c+a\geqslant b\).

Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{(a,b,c)\in\mathscr{A}}\displaystyle{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\over abc}\). Interprétation géométrique.