Édition de feuilles d'exercices

[geo.affine/ex0641] Soit \(ABC\) un triangle.

Montrer : \[\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits{\widehat A\over 2}\,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits{\widehat B\over 2}\,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits{\widehat C\over 2}\leqslant{1\over8},\] et étudier le cas d’égalité.

[geo.affine/ex0648] Soit \(ABC\) un triangle, \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) ; on note \(R\) le rayon du cercle circonscrit à \(ABC\).

Montrer : \[R={a\over2\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat A}={b\over2\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat B}={c\over2\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat C}={a+b+c\over2(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat A+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat B+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat C)}.\]

[oraux/ex1594] polytechnique MP 2008 Soit \(ABC\) un triangle du plan. On note \(\widehat A\), \(\widehat B\) et \(\widehat C\) les angles des sommets respectifs \(A\), \(B\) et \(C\), et \(a\), \(b\), \(c\) les longueurs des côtés \(BC\), \(AC\), \(AB\).

1. Montrer que la quantité « hauteur \(\times\) côté opposé » ne dépend pas du sommet à partir duquel elle est calculée.

2. Soit \(R\) le rayon du cercle circonscrit au triangle. Montrer : \[2R={a\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat A}={b\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat B}={c\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat C}.\]

3. En déduire une relation simple entre aire, rayon du cercle circonscrit et côtés du triangle.

[examen/ex2805] ens paris MP 2025 Soient \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) dans \(\mathbf{R}^{+*}\). Quelle est l’aire maximale d’un quadrilatère dont les côtés successifs ont pour longueurs \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) ?

[planches/ex1799] polytechnique MP 2017 Soit \(T\) un triangle dont les angles géométriques sont notés \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) (éléments de \(\left]0,\pi\right[\)). Montrer que : \[{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\alpha}+{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\beta}\geqslant{8\over3+2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\gamma}.\]