Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex5755] mines MP 2007 Soit \(ABC\) un triangle du plan euclidien de côtés \(a\), \(b\), \(c\), de périmètre \(p\) et d’aire \(S\). Montrer : \[S\leqslant{p^2\over12\sqrt3}\quad\hbox{et}\quad S\leqslant{\sqrt3\over4}(abc)^{2/3}.\] Étudier les cas d’égalité.

[geo.affine/ex0628] Soient \(ABC\) un triangle, \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\), \(p=\displaystyle{1\over2}(a+b+c)\).

1. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat A\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat A\) en fonction de \(a\), \(b\), \(c\), \(p\).

2. En déduire la formule de Héron donnant l’aire \(S\) de \(ABC\) : \[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.\]

[ensembles/ex0426] Montrer que l’aire d’un polygone dont les sommets sont des points à coordonnées entières, et dont les côtés ne se coupent pas, est donnée par \(I+\displaystyle{1\over2}F-1\), où \(I\) et \(F\) sont les points a coordonnées entières se trouvant à l’intérieur et sur la frontière du polygone.

[concours/ex3305] ens paris M 1993 Soit \(P\) un polygone convexe aux sommets dans \(\mathbf{Z}^2\) d’aire \(S\), \(n\) le nombre de points de \(\mathbf{Z}^2\) strictement intérieurs à \(P\) et \(m\) celui des points de \(\mathbf{Z}^2\) sur la frontière. Calculer \(S\) en fonction de \(m\) et \(n\).

[concours/ex5315] ens paris MP 2007 Soit \(ABC\) un vrai triangle de \(\mathbf{R}^2\) dont les sommets sont dans \(\mathbf{Z}^2\). On suppose que le triangle plein \(ABC\) ne contient pas d’autre point de \(\mathbf{Z}^2\). Quelle est l’aire de \(ABC\) ?