Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex6453] polytechnique MP 2006

1. Soit \(P(x,y,z)=x^4+y^4+z^4-2(xy)^2-2(yz)^2-2(xz)^2\). Factoriser \(P\).

2. Soit \(ABC\) un triangle dont les longueurs des côtés sont \(a\), \(b\), \(c\). On note \(S\) son aire. Montrer que \(P(a,b,c)=-16S^2\).

[oraux/ex1621] centrale MP 2008 Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points du plan affine euclidien orienté, \(S\) l’aire du triangle \(ABC\), \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\).

1. Exprimer \(\|\mathchoice{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle AB}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle AB}}\wedge\mathchoice{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AC}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle AC}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle AC}}\|^2+\langle\mathchoice{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle AB}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle AB}},\mathchoice{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AC}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle AC}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle AC}}\rangle^2\) en fonction de \(\|\mathchoice{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle AB}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle AB}}\|\) et \(\|\mathchoice{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AC}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle AC}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle AC}}\|\).

2. Montrer \(S^2=\displaystyle{(a^2+b^2+c^2)^2\over16}-{a^4+b^4+c^4\over8}\).

3. Montrer : \(S\leqslant\displaystyle{\sqrt3\over12}(a^2+b^2+c^2)\).

[oraux/ex1476] polytechnique MP 2005 Soient \(a\), \(b\), \(c\) les longueurs des côtés d’un triangle d’aire \(s\). Montrer que : \[16s^2=(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a).\]

[concours/ex0548] tpe, int, ivp MP 1996 On considère un triangle de côtés \(a\), \(b\) et \(c\) et d’aire \(S\). Montrer que \[16S^2=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)\,.\] En déduire que \(S\leqslant\displaystyle{\sqrt3\over12}(a^2+b^2+c^2)\) et traiter le cas d’égalité.

[examen/ex0241] mines PC 2023 Soient \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) des réels positifs avec \(\alpha+\beta+\gamma=\displaystyle\frac\pi2\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\alpha\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\beta\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\gamma\leqslant\displaystyle\frac18\).