Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex6907] polytechnique, espci PC 2013 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Caractériser les \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(MBM=M\).

[concours/ex8840] centrale PSI 2009 Déterminer les \((M,N)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})^2\) tels que : \(\forall X\in\mathscr{M}_n(X)\), \(MXN=0\).

[oraux/ex7309] polytechnique, espci PC 2016 Soit \(A\in\mathscr{M}_{s,t}(\mathbf{R})\). Montrer l’existence de \(M\in\mathscr{M}_{t,s}(\mathbf{R})\) telle que \(A=AMA\). Y a-t-il unicité ?

[concours/ex8434] polytechnique, ens cachan PSI 2005 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe \(U\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(AUA=A\).

[concours/ex8500] centrale MP 2005

1. Soit \(A\), \(B\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telles que \(AB=BA\). Montrer que \(A\in\mathbf{C}[B]\) ou \(B\in\mathbf{C}[A]\).

2. Peut-on étendre ce résultat à \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) ?

3. Peut-on étendre ce résultat à \(\mathscr{M}_2(\mathbf{K})\), \(\mathbf{K}\) étant un sous-corps de \(\mathbf{C}\) ?