Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex6911] polytechnique, espci PC 2013 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) non inversible. Montrer qu’il existe \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) non nulle telle que \(AB=BA=0\).

[concours/ex8483] centrale MP 2005 Trouver les \(A\) de \(\mathscr{M}_n(K)\) telles que : \(\exists B\in\mathscr{M}_n(K)\setminus\{0\}\), \(AB=BA=0\).

[oraux/ex6950] mines PC 2013 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) non inversible.

1. Existe-t-il \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) non nulle telle que \(AB=0\) et \(BA=0\) ?

2. Déterminer la dimension de \(\{B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R}),\ AB=BA=0\}\).

[oraux/ex7064] polytechnique, espci PC 2014 Déterminer les matrices symétriques et nilpotentes de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\).

[oraux/ex7585] mines PC 2014 Trouver les \(M\in\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\) telles que \(M^2=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(1,2,-1,-1)\).