Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex7424] escp S 2022 Soit un entier \(n\geqslant 1\). On note \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices carrées de taille \(n\) à coefficients réels. \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(M)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(M)\) désignent respectivement le noyau et l’image d’une matrice \(M\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

Soient \(A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et \(k\) un entier supérieur ou égal à \(1\). On note \(v_k=\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits\big(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(A^k)\big)\) la dimension de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(A^k)\) et \(w_k=\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits\big(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(A^k)\big)\) la dimension de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(A^k).\)

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(A^k)\subset \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(A^{k+1})\) pour \(k\geqslant 1\). En déduire que \((v_k)_{k\geqslant 1}\) est une suite croissante.

2. Montrer que la suite \((w_k)_{k\geqslant 1}\) est une suite décroissante.

3. Supposons qu’il existe un entier \(k_0\geqslant 1\) tel que \(v_{k_0}=v_{k_0+1}\). Montrer que \(v_{k_0+1}=v_{k_0+2}\). Que peut-on alors dire des suites d’entiers \((v_k)_{k\geqslant k_0}\) et \((w_k)_{k\geqslant k_0}\)?

   Pour le reste de l’exercice, on définit les notions suivantes.
   Une matrice \(M\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est dite nilpotente s’il existe un entier \(m\geqslant 1\) tel que \(M^m=0\).

   Pour une matrice nilpotente \(M\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), on définit son indice de nilpotence par : \[p=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits\{ m \in \mathbb{N}\setminus\{0\} \mid M^m=0 \}.\]

4. Donner trois exemples de matrices nilpotentes de \(\mathcal {M}_{3}(\mathbb{R})\) : un où \(p=1\), un où \(p=2\) et un où \(p=3\).

5. Soit \(M\in \mathcal {M}_n(\mathbb{R})\) une matrice nilpotente. Montrer que \(p\leqslant n\).

6. On suppose ici que \(n\geqslant 2\). Soit \(B=(b_{i,j})_{i,j\in \{ 1,\ldots,n\}}\in \mathcal {M}_n(\mathbb{R})\) dont les coefficients \(b_{i,j}\) sont définis par : \[b_{i, i+1}=1 \hbox{ pour } i\in \{1, \ldots, n-1\} \hbox{ et } b_{i, j}=0 \hbox{ pour } j\neq i+1 .\] Résoudre dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) l’équation d’inconnue \(M\) donnée par : \[M^2=B.\]

[concours/ex2427] ens lyon P 1995 Résoudre \(X^2+X=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right)\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

[concours/ex8779] polytechnique, espci PC 2009 Trouver les \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telles que \(A^2=\left(\begin{array}{cc}1&-1\\1&-1\end{array}\right)\).

[planches/ex3331] polytechnique, espci PC 2018 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(AB+A+B=0\).

1. On suppose \(A\) diagonale à coefficients diagonaux distincts. Montrer que \(B\) est diagonale.

2. La propriété est-elle vraie si \(A\) est seulement diagonale ?

[concours/ex3437] polytechnique pox M 1992 Soit \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel qu’il existe \(\lambda\in\mathbf{C}\) tel que \(\lambda AB+A+B=0\). Montrer qu’elles commutent.