Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex4641] escp B/L 2011

1. Soit \(N \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\) une matrice nilpotente (i. e telle qu’il existe \(p\in \mathbf{N}^*\) tel que \(N^p=0\)) d’indice \(q\) (i. e \(q\) est le plus petit entier naturel vérifiant \(N^q=0\)). Montrer que \(I_n-N\) est inversible et donner son inverse (\(I_n\) désigne la matrice identité d’ordre \(n\)).

2. Montrer l’inversibilité et calculer l’inverse de la matrice \[M= \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -a & 0& \ldots & 0 \\ 0 & 1 & -a & \ddots &\vdots \\ \vdots &\ddots & 1 & \ddots &0 \\ \vdots & & \ddots &\ddots &-a \\ 0 & \ldots &\ldots & 0 &1\end{array}\right) \in {\cal M}_n(\mathbf{R}).\]

3. 1. Soit \(N \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\) une matrice nilpotente d’indice \(2\). Pour tout \(p \in \mathbf{N}^*\), calculer \((I_n+N)^p\).

   2. Soit \(M= \left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -1 & 3\end{array}\right)\) ; exprimer \(M^{100}\) à l’aide d’une puissance de \(2\).

4. Soit \(N \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\) une matrice nilpotente d’indice \(3\).

   1. Donner le développement limité de la fonction \(x \rightarrow\sqrt{1+x}\) au voisinage de \(0\), à l’ordre \(2\).

   2. Montrer qu’il existe une matrice \(X\in {\cal M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(X^2= I_n+N\).

[oraux/ex7370] centrale PSI 2016 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) une matrice nilpotente d’indice de nilpotence \(p\).

1. Montrer par deux méthodes que l’on a \(p\leqslant n\).

2. Trouver une condition suffisante pour qu’il n’existe aucune matrice \(X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(X^2=M\).

3. Montrer qu’il existe \(Y\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(Y^2=I_n+M\).

[concours/ex8438] polytechnique PC 2005

1. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^2=0\). Trouver \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A^2=I_n+M\).

2. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^3=0\). Trouver \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A^2=I_n+M\).

3. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^{p+1}=0\). Trouver \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A^2=I_n+M\).

4. Montrer que si \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) est assez proche de 0 en un sens à préciser, il existe \(A\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A^2=I_n+M\).

[planches/ex7849] polytechnique, espci PC 2022 Soit \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) nilpotente telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits N)=1\).

Déterminer les matrices \(B\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(B^2=I_n+N\).

[concours/ex6621] hec S 2008

1. Montrer que, pour tout \(p\in\mathbf{N}^*\), l’application \(x\mapsto(1+x)^{1/2}\) admet un développement limité d’ordre \(p\) au voisinage de 0. On note \(P(X)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^pa_kX^k\) la partie régulière de ce développement limité.

2. Montrer que \(P^2-X-1\) est divisible par \(X^{p+1}\).

3. Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) une matrice nilpotente, c’est-à-dire : \(\exists k\in\mathbf{N}^*\), \(A^k=0\).

   Montrer que l’équation \(B^2=I_n+A\) d’inconnue \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) (\(I_n\) désigne la matrice identité d’ordre \(n\)) admet au moins une solution.