Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex4585] ens PC 2019 Soit \(\alpha\in\mathbf{C}\). Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) : \(X^3+X=\pmatrix{1&\alpha\cr\alpha&1}\).

[oraux/ex6915] polytechnique, espci PC 2013 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que \(X^{n+2}+X^n=\pmatrix{1&-1\cr-1&1}\).

[oraux/ex6413] hec courts T 2013 Soit \(a_1\), \(a_2\) et \(a_3\) des réels non nuls et soit \(M\) la matrice définie par \(M=\pmatrix{1&a_1/a_2&a_1/a_3\cr a_2/a_1&1&a_2/a_3\cr a_3/a_1&a_2/a_1&1}\).

1. Calculer \(M^2\). En déduire que la matrice \(M\) n’est pas inversible.

2. Déterminer tous les vecteurs \(Y\) de \(\mathbf{R}^3\) tels que \(MY=3Y\).

[oraux/ex7041] polytechnique MP 2014 Soit \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\). On suppose que tous les coefficients de \(A\) sont des entiers naturels et que l’ensemble \(\{(A^k)_{i,j},\ (i,j)\in[[1,n]]^2,\ k\in\mathbf{N}\}\) est fini. Montrer que \(A\) est une matrice de permutation.

[oraux/ex6026] hec T 2014

1. Question de cours : Définition d’une matrice inversible.

   On note \(\mathscr{C}\) l’ensemble des matrices \(A\) carrées d’ordre 2 pour lesquelles il existe une matrice \(B\) carrée d’ordre 2 telle que \(B^2=A\). On note \(I\) la matrice identité d’ordre 2.

2. Montrer que si \(B^2=A\), alors \(AB=BA\).

3. Soit \(B=\left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right)\).

   1. Calculer \(B^2\).

   2. En déduire que pour tout réel \(r\), on a : \(rI\in\mathscr{C}\).

4. Soit \(a\) et \(b\) deux réels distincts et \(A=\left(\begin{array}{cc}a&0\\0&b\end{array}\right)\).

   1. Déterminer les matrices qui commutent avec \(A\) (deux matrices \(X\) et \(Y\) commutent si \(XY=YX\)).

   2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(a\) et \(b\) pour que \(A\) appartienne à \(\mathscr{C}\).

5. Pour chacune des deux matrices suivantes, indiquer si elle appartient à \(\mathscr{C}\) : \(\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)\), \(\left(\begin{array}{cc}-1&1\\0&-1\end{array}\right)\).

6. Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre 2 appartenant à \(\mathscr{C}\) et soit \(P\) une matrice inversible d’ordre 2, d’inverse \(P^{-1}\). On pose : \(D=P^{-1}AP\). Montrer que \(D\) appartient à \(\mathscr{C}\).