Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex6026] hec T 2014

1. Question de cours : Définition d’une matrice inversible.

   On note \(\mathscr{C}\) l’ensemble des matrices \(A\) carrées d’ordre 2 pour lesquelles il existe une matrice \(B\) carrée d’ordre 2 telle que \(B^2=A\). On note \(I\) la matrice identité d’ordre 2.

2. Montrer que si \(B^2=A\), alors \(AB=BA\).

3. Soit \(B=\left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right)\).

   1. Calculer \(B^2\).

   2. En déduire que pour tout réel \(r\), on a : \(rI\in\mathscr{C}\).

4. Soit \(a\) et \(b\) deux réels distincts et \(A=\left(\begin{array}{cc}a&0\\0&b\end{array}\right)\).

   1. Déterminer les matrices qui commutent avec \(A\) (deux matrices \(X\) et \(Y\) commutent si \(XY=YX\)).

   2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(a\) et \(b\) pour que \(A\) appartienne à \(\mathscr{C}\).

5. Pour chacune des deux matrices suivantes, indiquer si elle appartient à \(\mathscr{C}\) : \(\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)\), \(\left(\begin{array}{cc}-1&1\\0&-1\end{array}\right)\).

6. Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre 2 appartenant à \(\mathscr{C}\) et soit \(P\) une matrice inversible d’ordre 2, d’inverse \(P^{-1}\). On pose : \(D=P^{-1}AP\). Montrer que \(D\) appartient à \(\mathscr{C}\).

[concours/ex8408] centrale 2004 Le corps de base \(\mathbf{K}\) étant celui des réels, puis celui des complexes, trouver les couples \((X,Y)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{K})^2\) tels que \({}^tXYX={}^tYXY=I_n\).

[oraux/ex7072] polytechnique, espci PC 2014 Soit \(n\in\mathbf{N}\setminus\{0,1\}\). Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que \(M^n=\pmatrix{0&1\cr-1&0}\).

[oraux/ex7088] mines MP 2014 Soit \(J=\pmatrix{0&0&1\cr0&1&0\cr1&0&0}\) et \(K=\pmatrix{0&1&0\cr1&0&1\cr0&1&0}\). Déterminer tous les polynômes \(P\) de \(\mathbf{C}[X]\) tels que \(P(J)=K\).

[oraux/ex7755] mines MP 2016 Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{Z}/5\mathbf{Z})\) : \(M^2=\pmatrix{\overline4&\overline2\cr\overline4&\overline1}\).