Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex6010] hec E 2014

1. Question de cours : Définition de deux matrices semblables.

   Soit \(E\) un espace vectoriel sur \(\mathbf{R}\) de dimension 2. On note \(\mathscr{L}(E)\) l’ensemble des endomorphismes de \(E\).

   Pour toute matrice \(A=\left(\begin{array}{cc}a&c\\b&d\end{array}\right)\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\), on note \(D\) et \(T\) les deux applications suivantes : \[D:\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\rightarrow\mathbf{R},\ A\mapsto ad-bc\quad\hbox{et}\quad T:\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\rightarrow\mathbf{R},\ A\mapsto a+d.\]

2. Soit \(A\) et \(B\) deux matrices de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

   1. Exprimer \(D(AB)\) en fonction de \(D(A)\) et \(D(B)\). Montrer que \(T(AB)=T(BA)\).

   2. En déduire que si \(A\) et \(B\) sont semblables, on a \(D(A)=D(B)\) et \(T(A)=T(B)\).

3. Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits D\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits T\). Quelle est la dimension de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits T\) ?

   Dorénavant, si \(u\in\mathscr{L}(E)\) de matrice \(A\) dans une base \(\mathscr{B}\) de \(E\), on note : \(D(u)=D(A)\) et \(T(u)=T(A)\).

4. On note \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E\) l’endomorphisme identité de \(E\). Exprimer \(u^2=u\mathbin{\circ} u\) en fonction de \(u\) et \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E\).

5. Soit \(u\in\mathscr{L}(E)\) et \(\mathscr{S}_0=\{v\in\mathscr{L}(E)\mid u\mathbin{\circ} v-v\mathbin{\circ} u=0\}\).

   Montrer que \(\mathscr{S}_0\) est un espace vectoriel contenant \(\{P(u),\ P\in\mathbf{R}[X]\}\).

6. Soit \(u\in\mathscr{L}(E)\) avec \(u\neq0\). On pose : \(\mathscr{S}=\{v\in\mathscr{L}(E)\mid u\mathbin{\circ} v-v\mathbin{\circ} u=u\}\).

   1. Montrer que si \(\mathscr{S}\) est non vide, alors l’endomorphisme \(u\) ne peut pas être bijectif. En déduire une condition nécessaire portant sur \(u^2\) pour que \(\mathscr{S}\) soit non vide.

   2. On suppose que \(\mathscr{S}\) est non vide. Établir l’existence d’une base \(\mathscr{B}_1=(e_1,e_2)\) de \(E\) dans laquelle la matrice \(M_u\) de \(u\) s’écrit \(M_u=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right)\) et déterminer la forme générale de la matrice des éléments \(v\) de \(\mathscr{S}\) dans cette même base.

   3. On suppose que \(\mathscr{S}\) est non vide. Montrer que \(\mathscr{S}=\{v_0+\alpha\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E+\beta u,\ \alpha,\ \beta\in\mathbf{R}\}\) où \(v_0\) est un endomorphisme non inversible de \(E\) à déterminer.

[ev.algebre/ex1106] Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})^2\) : \[XY=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right),\quad YX=\left(\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right).\]

[oraux/ex6967] centrale MP 2013 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \((S)\) le système : \((XY+YX=0,\ X^2=Y^2=0,\ XY\neq0)\) d’inconnue \((X,Y)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})^2\).

1. Montrer que \((S)\) n’a pas de solution pour \(n=2\).

2. Montrer que, pour tout \(n\) pair strictement supérieur à 2, le système \(S)\) possède une solution \((X,Y)\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{rg}}{\hbox{rg}}{\mathrm{rg}}{\mathrm{rg}}}\nolimits X=n/2\).

3. Étudier, pour \(n\) impair strictement supérieur à 2, l’existence d’une solution de \((S)\).

[oraux/ex7193] polytechnique, espci PC 2015

1. Déterminer la dimension du sous-espace de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) engendré par les matrices \(M\) vérifiant \(M^2=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(1,2)\).

2. Déterminer la dimension du sous-espace de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) engendré par les matrices \(M\) vérifiant \(M^2=I_2\).

[concours/ex3831] ensi M 1992 Déterminer toutes les matrices \(M\in\mathscr{M}_3(K)\) telles que \(M^2=0\).