Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex4357] hec E 2006 Soit \(A\) la matrice de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) définie par : \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&1\\1&0&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? La matrice \(A\) est-elle inversible ?

2. Déterminer tous les entiers naturels \(p\) et \(q\) tels que \(A^{2p+1}=A^{2q}\).

3. Existe-t-il un entier \(n\) de \(\mathbf{N}\) tel que \(M^n=A\) si :

   1. \(M=\left(\begin{array}{ccc}0&1&2\\1&1&1\\1&2&3\end{array}\right)\)

   2. \(M=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&-1&1\\0&1&1\end{array}\right)\) ?

[oraux/ex6413] hec courts T 2013 Soit \(a_1\), \(a_2\) et \(a_3\) des réels non nuls et soit \(M\) la matrice définie par \(M=\pmatrix{1&a_1/a_2&a_1/a_3\cr a_2/a_1&1&a_2/a_3\cr a_3/a_1&a_2/a_1&1}\).

1. Calculer \(M^2\). En déduire que la matrice \(M\) n’est pas inversible.

2. Déterminer tous les vecteurs \(Y\) de \(\mathbf{R}^3\) tels que \(MY=3Y\).

[concours/ex8772] polytechnique MP 2009 Trouver les \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(A^3+A^2=2I_n\).

[ev.algebre/ex1211] Trouver une matrice triangulaire supérieure telle que \(A^3=\left(\begin{array}{cc}8&-57\\0&27\end{array}\right)\).

[oraux/ex6967] centrale MP 2013 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \((S)\) le système : \((XY+YX=0,\ X^2=Y^2=0,\ XY\neq0)\) d’inconnue \((X,Y)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})^2\).

1. Montrer que \((S)\) n’a pas de solution pour \(n=2\).

2. Montrer que, pour tout \(n\) pair strictement supérieur à 2, le système \(S)\) possède une solution \((X,Y)\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{rg}}{\hbox{rg}}{\mathrm{rg}}{\mathrm{rg}}}\nolimits X=n/2\).

3. Étudier, pour \(n\) impair strictement supérieur à 2, l’existence d’une solution de \((S)\).