Édition de feuilles d'exercices

[ev.algebre/ex1245] Trouver toutes les matrices carrées réelles telles que \(A^2=B\), où \[B=\left(\begin{array}{cc} 1&4\\0&-9 \end{array}\right).\]

[oraux/ex7314] polytechnique, espci PC 2016 Soient \(n\in\mathbf{N}\) avec \(n\geqslant 2\) et \[A=\pmatrix{0&1&0&\cdots&0\cr\vdots&0&1&\ddots&\vdots\cr\vdots&&\ddots&\ddots&0\cr\vdots&&&\ddots&1\cr0&\cdots&\cdots&\cdots&0}.\] Déterminer \(S\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) symétrique et inversible telle que \(AS=S{}^tA\).

[concours/ex8522] centrale PC 2005 Trouver les matrices \(M\) de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que : \(M^2=\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&0\end{array}\right)\).

[concours/ex0403] centrale MP 1996 On considère le système : \[\left\{\begin{array}{rcl} XY+YX &=& 0\\ X^2 &=& 0\\ Y^2 &=& 0\\ XY &\neq& 0 \end{array}\right.\quad\hbox{avec}\quad(X,Y)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})^2\,.\]

1. Montrer que, pour \(n=2\), le système n’a pas de solution.

2. Montrer que, pour \(n=2r\) (avec \(r\geqslant 2\)), il y a une solution telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{rg}}{\hbox{rg}}{\mathrm{rg}}{\mathrm{rg}}}\nolimits X=r\).

3. Étudier le cas où \(n\) est impair.

[oraux/ex7651] polytechnique, espci PC 2015 Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(a_{1,1}=-1\), les autres coefficients étant nuls. Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(M^2=A\) ?