Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex9692] mines MP 2023 Soient \(A=\pmatrix{1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \cr 0 & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \cr \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \cr \vdots & & \ddots & \ddots & 1 \cr 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1}\) et \(N=A-I_n\).

Soit \((E)\) l’équation matricielle \(X^2=A\).

1. Quelles sont les matrices qui commutent avec \(N\) ?

2. Montrer que les solutions de \((E)\) sont de la forme \(X=\pm\pmatrix{1 & a_1 & \cdots & a_{n-1} \cr 0 & \ddots & \ddots & \vdots \cr \vdots & \ddots & \ddots & a_1 \cr 0 & \cdots & 0 & 1}\). Montrer qu’il y a au plus deux solutions.

3. Rappeler le développement limité à l’ordre \(n\) de \(x\mapsto\sqrt{1+x}\). Résoudre \((E)\).

[oraux/ex6967] centrale MP 2013 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \((S)\) le système : \((XY+YX=0,\ X^2=Y^2=0,\ XY\neq0)\) d’inconnue \((X,Y)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})^2\).

1. Montrer que \((S)\) n’a pas de solution pour \(n=2\).

2. Montrer que, pour tout \(n\) pair strictement supérieur à 2, le système \(S)\) possède une solution \((X,Y)\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{rg}}{\hbox{rg}}{\mathrm{rg}}{\mathrm{rg}}}\nolimits X=n/2\).

3. Étudier, pour \(n\) impair strictement supérieur à 2, l’existence d’une solution de \((S)\).

[oraux/ex7178] polytechnique, espci PC 2015 Soit \(\mathscr{N}\) l’ensemble des matrices nilpotentes de l’espace \(\mathscr{S}_2(\mathbf{C})\) des matrices symétriques complexes.

1. Déterminer \(\mathscr{N}\).

2. Déterminer la dimension de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(\mathscr{N})\).

[ev.algebre/ex1245] Trouver toutes les matrices carrées réelles telles que \(A^2=B\), où \[B=\left(\begin{array}{cc} 1&4\\0&-9 \end{array}\right).\]

[concours/ex8408] centrale 2004 Le corps de base \(\mathbf{K}\) étant celui des réels, puis celui des complexes, trouver les couples \((X,Y)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{K})^2\) tels que \({}^tXYX={}^tYXY=I_n\).