Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7060] polytechnique, espci PC 2014 Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) telles que \(M^2=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(1,2,3)\).

[planches/ex8976] imt PC 2022 Soit \(A\) la matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) dont tous les coefficients valent 1.

On note \(\mathscr{F}=\{M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R}),\ AMA=0\}\).

1. Montrer que \(\mathscr{F}\) est un espace vectoriel. Quelle est sa dimension ?

   On pose \(\mathscr{E}=\{M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R}),\ AMA=A\}\).

2. Pour quels réels \(\lambda\) a-t-on \(\lambda A\in\mathscr{E}\) ?

3. Déterminer les éléments de \(\mathscr{E}\).

[oraux/ex7005] petites mines PSI 2013 Soit \(A=\pmatrix{1&3&5\cr2&4&6\cr3&5&7}\). Trouver toutes les matrices \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(B)\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(B)=\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(A)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(B)\).

[ev.algebre/ex1244] Trouver toutes les matrices carrées réelles telles que \(A^2=B\), où \[B=\left(\begin{array}{cc} 4&21\\0&25 \end{array}\right).\]

[oraux/ex6891] polytechnique MP 2013 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(AB^5-B^3AB^2=B\). Montrer que \(B=0\).