Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7348] mines PC 2016 Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) telle que \[M^2=\pmatrix{0&0&0\cr1&0&0\cr0&1&0}\ ?\]

[concours/ex0738] mines MP 1997 Trouver une matrice \(B\) telle que : \[B^2=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&1&2\\0&0&1\end{array}\right).\]

[planches/ex8294] mines PC 2022 Soient \(\alpha_1\), … , \(\alpha_n\), \(\beta_1\), … , \(\beta_n\) des réels. On note \(A=(a_{i,j})\) la matrice carrée telle que \(\forall(i,j)\in[[1,n]]^2\) , \(a_{i,j}=\alpha_i\beta_j\).

1. Donner le rang de \(A\).

2. Montrer que \(A^2=(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A)A\). Si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)\neq0\), montrer qu’il existe une homothétie \(h\) et un projecteur \(p\) tels que \(A\) soit la matrice de \(h\mathbin{\circ} p\) dans une certaine base.

3. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de rang 1.

   Montrer qu’il existe \(X\in\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\setminus\{0\}\) et \(Y\in\mathscr{M}_{1,n}(\mathbf{R})\setminus\{0\}\) tels que \(M=XY\).

4. Déduire des questions précédentes les matrices \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(A^2=0\).

[oraux/ex5803] ensea PSI 2012 Soit \(A\in {\cal M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A^3=0\).

1. Donner le développement en série entière de \(x\mapsto \sqrt{1+x}\).

2. Existe-t-il \(B\in {\cal M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(B^2=A+I_n\) ?

[examen/ex0120] mines PC 2023 Trouver les matrices \(B\) de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(B^2=\pmatrix{1&2&3\cr0&1&2\cr0&0&1}\).