Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7348] mines PC 2016 Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) telle que \[M^2=\pmatrix{0&0&0\cr1&0&0\cr0&1&0}\ ?\]

[oraux/ex5803] ensea PSI 2012 Soit \(A\in {\cal M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A^3=0\).

1. Donner le développement en série entière de \(x\mapsto \sqrt{1+x}\).

2. Existe-t-il \(B\in {\cal M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(B^2=A+I_n\) ?

[examen/ex0120] mines PC 2023 Trouver les matrices \(B\) de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(B^2=\pmatrix{1&2&3\cr0&1&2\cr0&0&1}\).

[concours/ex0738] mines MP 1997 Trouver une matrice \(B\) telle que : \[B^2=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&1&2\\0&0&1\end{array}\right).\]

[planches/ex8294] mines PC 2022 Soient \(\alpha_1\), … , \(\alpha_n\), \(\beta_1\), … , \(\beta_n\) des réels. On note \(A=(a_{i,j})\) la matrice carrée telle que \(\forall(i,j)\in[[1,n]]^2\) , \(a_{i,j}=\alpha_i\beta_j\).

1. Donner le rang de \(A\).

2. Montrer que \(A^2=(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A)A\). Si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)\neq0\), montrer qu’il existe une homothétie \(h\) et un projecteur \(p\) tels que \(A\) soit la matrice de \(h\mathbin{\circ} p\) dans une certaine base.

3. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de rang 1.

   Montrer qu’il existe \(X\in\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\setminus\{0\}\) et \(Y\in\mathscr{M}_{1,n}(\mathbf{R})\setminus\{0\}\) tels que \(M=XY\).

4. Déduire des questions précédentes les matrices \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(A^2=0\).

[planches/ex7849] polytechnique, espci PC 2022 Soit \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) nilpotente telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits N)=1\).

Déterminer les matrices \(B\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(B^2=I_n+N\).

[concours/ex8897] polytechnique, espci PC 2010 Soit \(n\in\mathbf{N}\) avec \(n\geqslant 2\). Déterminer les \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telles que \(A^n=\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)\).

[concours/ex6621] hec S 2008

1. Montrer que, pour tout \(p\in\mathbf{N}^*\), l’application \(x\mapsto(1+x)^{1/2}\) admet un développement limité d’ordre \(p\) au voisinage de 0. On note \(P(X)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^pa_kX^k\) la partie régulière de ce développement limité.

2. Montrer que \(P^2-X-1\) est divisible par \(X^{p+1}\).

3. Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) une matrice nilpotente, c’est-à-dire : \(\exists k\in\mathbf{N}^*\), \(A^k=0\).

   Montrer que l’équation \(B^2=I_n+A\) d’inconnue \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) (\(I_n\) désigne la matrice identité d’ordre \(n\)) admet au moins une solution.

[ev.algebre/ex1111] Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) nilpotente, \(a\in\mathbf{C}^*\). Montrer qu’il existe \(X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que : \(X^2=aI_n+N\).

[oraux/ex7370] centrale PSI 2016 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) une matrice nilpotente d’indice de nilpotence \(p\).

1. Montrer par deux méthodes que l’on a \(p\leqslant n\).

2. Trouver une condition suffisante pour qu’il n’existe aucune matrice \(X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(X^2=M\).

3. Montrer qu’il existe \(Y\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(Y^2=I_n+M\).

[concours/ex5508] polytechnique PC 2007 Soit \(A=\left(\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\0&1&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{array} \right)\).

1. Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}\), puis \(n\in\mathbf{Z}\).

2. Trouver \(B\in\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=A\).

[oraux/ex3822] mines MP 2011

1. Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Montrer qu’il existe \(P_n\in\mathbf{R}[X]\) tel que \(1+X-(P_n(X))^2\) soit divisible par \(X^n\).

   Indication : Utiliser le développement limité en 0 de \(x\mapsto\sqrt{1+x}\).

2. Soit \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) une matrice nilpotente. Montrer qu’il existe \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=I_n+N\).

[concours/ex8438] polytechnique PC 2005

1. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^2=0\). Trouver \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A^2=I_n+M\).

2. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^3=0\). Trouver \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A^2=I_n+M\).

3. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^{p+1}=0\). Trouver \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A^2=I_n+M\).

4. Montrer que si \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) est assez proche de 0 en un sens à préciser, il existe \(A\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A^2=I_n+M\).

[oraux/ex4641] escp B/L 2011

1. Soit \(N \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\) une matrice nilpotente (i. e telle qu’il existe \(p\in \mathbf{N}^*\) tel que \(N^p=0\)) d’indice \(q\) (i. e \(q\) est le plus petit entier naturel vérifiant \(N^q=0\)). Montrer que \(I_n-N\) est inversible et donner son inverse (\(I_n\) désigne la matrice identité d’ordre \(n\)).

2. Montrer l’inversibilité et calculer l’inverse de la matrice \[M= \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -a & 0& \ldots & 0 \\ 0 & 1 & -a & \ddots &\vdots \\ \vdots &\ddots & 1 & \ddots &0 \\ \vdots & & \ddots &\ddots &-a \\ 0 & \ldots &\ldots & 0 &1\end{array}\right) \in {\cal M}_n(\mathbf{R}).\]

3. 1. Soit \(N \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\) une matrice nilpotente d’indice \(2\). Pour tout \(p \in \mathbf{N}^*\), calculer \((I_n+N)^p\).

   2. Soit \(M= \left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -1 & 3\end{array}\right)\) ; exprimer \(M^{100}\) à l’aide d’une puissance de \(2\).

4. Soit \(N \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\) une matrice nilpotente d’indice \(3\).

   1. Donner le développement limité de la fonction \(x \rightarrow\sqrt{1+x}\) au voisinage de \(0\), à l’ordre \(2\).

   2. Montrer qu’il existe une matrice \(X\in {\cal M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(X^2= I_n+N\).

[concours/ex8555] mines PSI 2006 Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) telle que \(M^2=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\1&0&0\\1&1&0\end{array}\right)\) ? \(M^2=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{array}\right)\) ?

[planches/ex4638] polytechnique MP 2019 Résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) l’équation : \[B^2=\pmatrix{1&2&4\cr0&1&3\cr0&0&1}.\]

[concours/ex5903] centrale MP 2007 Soient \(n\in\mathbf{N}\) avec \(n\geqslant 2\) et \(M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) où, \(\forall i\in\{1,\ldots,n-1\}\), \(m_{i+1,i}=1\), les autres coefficients étant nuls. Résoudre dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) : \(A^2=M\).

[planches/ex3330] polytechnique, espci PC 2018 Existe-t-il \(B\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=\pmatrix{0&1\cr0&0}\) ?

[concours/ex6714] escp S 2008 L’équation matricielle \(X^2=\left(\begin{array}{cc}0&1\\ 0&0\end{array}\right)\) a-t-elle des solutions dans \({\cal M}_2(\mathbb{C})\) ? Donner un exemple non trivial d’une matrice nilpotente telle que l’équation matricielle \(X^2=A\) possède des solutions.

[concours/ex8624] polytechnique, ens cachan PSI 2008

1. Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) : \(X^2=J\) où \(J=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right)\).

2. Résoudre dans \(\mathscr{M}_4(\mathbf{C})\) : \(X^2=\left(\begin{array}{c|c} J&0\\\hline0&J\end{array}\right)\).

[planches/ex7424] escp S 2022 Soit un entier \(n\geqslant 1\). On note \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices carrées de taille \(n\) à coefficients réels. \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(M)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(M)\) désignent respectivement le noyau et l’image d’une matrice \(M\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

Soient \(A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et \(k\) un entier supérieur ou égal à \(1\). On note \(v_k=\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits\big(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(A^k)\big)\) la dimension de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(A^k)\) et \(w_k=\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits\big(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(A^k)\big)\) la dimension de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(A^k).\)

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(A^k)\subset \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(A^{k+1})\) pour \(k\geqslant 1\). En déduire que \((v_k)_{k\geqslant 1}\) est une suite croissante.

2. Montrer que la suite \((w_k)_{k\geqslant 1}\) est une suite décroissante.

3. Supposons qu’il existe un entier \(k_0\geqslant 1\) tel que \(v_{k_0}=v_{k_0+1}\). Montrer que \(v_{k_0+1}=v_{k_0+2}\). Que peut-on alors dire des suites d’entiers \((v_k)_{k\geqslant k_0}\) et \((w_k)_{k\geqslant k_0}\)?

   Pour le reste de l’exercice, on définit les notions suivantes.
   Une matrice \(M\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est dite nilpotente s’il existe un entier \(m\geqslant 1\) tel que \(M^m=0\).

   Pour une matrice nilpotente \(M\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), on définit son indice de nilpotence par : \[p=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits\{ m \in \mathbb{N}\setminus\{0\} \mid M^m=0 \}.\]

4. Donner trois exemples de matrices nilpotentes de \(\mathcal {M}_{3}(\mathbb{R})\) : un où \(p=1\), un où \(p=2\) et un où \(p=3\).

5. Soit \(M\in \mathcal {M}_n(\mathbb{R})\) une matrice nilpotente. Montrer que \(p\leqslant n\).

6. On suppose ici que \(n\geqslant 2\). Soit \(B=(b_{i,j})_{i,j\in \{ 1,\ldots,n\}}\in \mathcal {M}_n(\mathbb{R})\) dont les coefficients \(b_{i,j}\) sont définis par : \[b_{i, i+1}=1 \hbox{ pour } i\in \{1, \ldots, n-1\} \hbox{ et } b_{i, j}=0 \hbox{ pour } j\neq i+1 .\] Résoudre dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) l’équation d’inconnue \(M\) donnée par : \[M^2=B.\]

[concours/ex8480] mines PC 2005 Trouver les solutions dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) de : \[X^2+X=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right).\]

[concours/ex3437] polytechnique pox M 1992 Soit \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel qu’il existe \(\lambda\in\mathbf{C}\) tel que \(\lambda AB+A+B=0\). Montrer qu’elles commutent.

[planches/ex3331] polytechnique, espci PC 2018 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(AB+A+B=0\).

1. On suppose \(A\) diagonale à coefficients diagonaux distincts. Montrer que \(B\) est diagonale.

2. La propriété est-elle vraie si \(A\) est seulement diagonale ?

[concours/ex8779] polytechnique, espci PC 2009 Trouver les \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telles que \(A^2=\left(\begin{array}{cc}1&-1\\1&-1\end{array}\right)\).

[oraux/ex6895] polytechnique, espci PC 2013 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). On suppose que \(AB=A+B\). Montrer que \(A\) et \(B\) commutent.

[oraux/ex5465] mines PC 2012 Soient \(A\) et \(B\) dans \({\cal M}_n(\mathbf{R})\) et \((*)\) la condition \(A^2B=A\) \(\Leftrightarrow\) \(BA^2=A\).

1. Si \(A\) et \(B\) sont dans \({\cal S}_n(\mathbf{R})\), la condition \((*)\) est-elle vérifiée ?

2. Donner une condition suffisante pour que \((*)\) soit vérifiée.

3. Donner un exemple de couple \((A,B)\) tel que \(A^2B=A\) et \(BA^2\ne A\).

[planches/ex6554] polytechnique, espci PC 2021 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{rg}}{\hbox{rg}}{\mathrm{rg}}{\mathrm{rg}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{rg}}{\hbox{rg}}{\mathrm{rg}}{\mathrm{rg}}}\nolimits(B)\) et \(A^2B=A\).

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(B)=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(A^2)\).

2. Montrer que \(\mathbf{C}^n=\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(A)\oplus\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(B)\oplus\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(B)\).

3. Montrer que \(B^2A=B\).

[oraux/ex6019] hec courts E 2014 Soit \(D\) la matrice définie par : \(D=\left(\begin{array}{cc}-1&0\\0&4\end{array}\right)\).

1. Déterminer les matrices \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que \(AD=DA\).

2. En déduire les matrices \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) qui vérifient \(M^3-2M=D\).

[planches/ex8311] mines PC 2022 On note \(D=\pmatrix{-1&0\cr0&4}\). Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) l’équation \(M^3-2M=D\).

[oraux/ex6950] mines PC 2013 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) non inversible.

1. Existe-t-il \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) non nulle telle que \(AB=0\) et \(BA=0\) ?

2. Déterminer la dimension de \(\{B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R}),\ AB=BA=0\}\).

[oraux/ex6911] polytechnique, espci PC 2013 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) non inversible. Montrer qu’il existe \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) non nulle telle que \(AB=BA=0\).

[concours/ex8483] centrale MP 2005 Trouver les \(A\) de \(\mathscr{M}_n(K)\) telles que : \(\exists B\in\mathscr{M}_n(K)\setminus\{0\}\), \(AB=BA=0\).

[oraux/ex7064] polytechnique, espci PC 2014 Déterminer les matrices symétriques et nilpotentes de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\).

[concours/ex3267] ens cachan M 1993 Résoudre \(X^2=A\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

[concours/ex8774] polytechnique MP 2009 Soit \(P\in\mathbf{R}_2[X]\). Résoudre dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) l’équation \(P(M)=0\).

[oraux/ex7788] mines PC 2016 Déterminer les \(A\in\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\) telles que \(A^2=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(1,2,-1,-1)\).

[oraux/ex6904] polytechnique, espci PC 2013 Si \(X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^2=X\) ?

[oraux/ex7166] polytechnique MP 2015 Toute matrice de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) est-elle le carré d’une matrice de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) ?

[oraux/ex7309] polytechnique, espci PC 2016 Soit \(A\in\mathscr{M}_{s,t}(\mathbf{R})\). Montrer l’existence de \(M\in\mathscr{M}_{t,s}(\mathbf{R})\) telle que \(A=AMA\). Y a-t-il unicité ?

[concours/ex8434] polytechnique, ens cachan PSI 2005 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe \(U\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(AUA=A\).

[oraux/ex6907] polytechnique, espci PC 2013 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Caractériser les \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(MBM=M\).

[concours/ex8840] centrale PSI 2009 Déterminer les \((M,N)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})^2\) tels que : \(\forall X\in\mathscr{M}_n(X)\), \(MXN=0\).

[oraux/ex4811] escp courts 2012 Soient \(A\), \(B \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\) telles que pour toute matrice \(M \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\), \(A M B = 0\).

Montrer que \(A = 0\) ou \(B = 0\).

[concours/ex9071] escp courts 2010 Trouver toutes les matrices \(M\) de \({\cal M}_3(\mathbf{C})\) telles que \(M^2=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right)\).

[ev.algebre/ex1246] Soit \(B=\left(\begin{array}{ccc}1&8&5\\0&9&5\\0&0&4\end{array}\right)\). Trouver une matrice \(A\) dont les éléments diagonaux sont strictement positifs, telle que \(A^2=B\).

[concours/ex8410] centrale 2004 Étudier les couples \((A,B)\) de matrices carrées complexes d’ordre \(n\) telles que \(A^2=B^2=-I\) et \(AB+BA=0\).

[concours/ex8372] centrale 2004

1. Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_2(K)\) telles que \(AB=BA\). Montrer que soit \(A\in K[B]\) soit \(B\in K[A]\).

2. Le résultat subsiste-t-il dans \(\mathscr{M}_3(K)\) ?

[oraux/ex7260] ccem PSI 2015 Déterminer les matrices \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(A^2=\pmatrix{1&0&0\cr1&2&0\cr1&2&3}\).

[concours/ex8898] polytechnique, espci PC 2010 Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telle que \(A^2\neq0\). Si \(n\in\mathbf{N}^*\), montrer qu’il existe \(B\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telle que \(A=B^n\).

[oraux/ex7060] polytechnique, espci PC 2014 Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) telles que \(M^2=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(1,2,3)\).

[ev.algebre/ex1105] Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})^2\) : \[XY=YX=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right).\]

[concours/ex9123] hec courts T 2010 Déterminer en fonction de \(a\), toutes les matrices carrées \(M\) d’ordre 2 avec \(M=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\), qui vérifient les deux propriétés : \(M^2=M\) et \(M=\left(\begin{array}{cc}a&c\\b&d\end{array}\right)\).

[oraux/ex4828] hec courts T 2012 Soit \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) des réels tous non nuls. Déterminer toutes les matrices carrées \(A\) d’ordre 2 avec \(A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\) qui vérifient la propriété : \(A^2=2A\) (on exprimera les solutions en fonction du produit \(bc\)).

[concours/ex8500] centrale MP 2005

1. Soit \(A\), \(B\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telles que \(AB=BA\). Montrer que \(A\in\mathbf{C}[B]\) ou \(B\in\mathbf{C}[A]\).

2. Peut-on étendre ce résultat à \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) ?

3. Peut-on étendre ce résultat à \(\mathscr{M}_2(\mathbf{K})\), \(\mathbf{K}\) étant un sous-corps de \(\mathbf{C}\) ?

[oraux/ex7219] mines PSI 2015 Déterminer \(M\in\mathscr{M}_4(\mathbf{C})\) telle que : \[M^2=\pmatrix{0&1&1&1\cr1&0&1&1\cr1&1&0&1\cr1&1&1&0}.\]

[planches/ex3408] mines MP 2018 Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{Z})\) l’équation \(X^{2n+1}+X=I_2\).

[oraux/ex6010] hec E 2014

1. Question de cours : Définition de deux matrices semblables.

   Soit \(E\) un espace vectoriel sur \(\mathbf{R}\) de dimension 2. On note \(\mathscr{L}(E)\) l’ensemble des endomorphismes de \(E\).

   Pour toute matrice \(A=\left(\begin{array}{cc}a&c\\b&d\end{array}\right)\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\), on note \(D\) et \(T\) les deux applications suivantes : \[D:\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\rightarrow\mathbf{R},\ A\mapsto ad-bc\quad\hbox{et}\quad T:\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\rightarrow\mathbf{R},\ A\mapsto a+d.\]

2. Soit \(A\) et \(B\) deux matrices de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

   1. Exprimer \(D(AB)\) en fonction de \(D(A)\) et \(D(B)\). Montrer que \(T(AB)=T(BA)\).

   2. En déduire que si \(A\) et \(B\) sont semblables, on a \(D(A)=D(B)\) et \(T(A)=T(B)\).

3. Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits D\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits T\). Quelle est la dimension de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits T\) ?

   Dorénavant, si \(u\in\mathscr{L}(E)\) de matrice \(A\) dans une base \(\mathscr{B}\) de \(E\), on note : \(D(u)=D(A)\) et \(T(u)=T(A)\).

4. On note \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E\) l’endomorphisme identité de \(E\). Exprimer \(u^2=u\mathbin{\circ} u\) en fonction de \(u\) et \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E\).

5. Soit \(u\in\mathscr{L}(E)\) et \(\mathscr{S}_0=\{v\in\mathscr{L}(E)\mid u\mathbin{\circ} v-v\mathbin{\circ} u=0\}\).

   Montrer que \(\mathscr{S}_0\) est un espace vectoriel contenant \(\{P(u),\ P\in\mathbf{R}[X]\}\).

6. Soit \(u\in\mathscr{L}(E)\) avec \(u\neq0\). On pose : \(\mathscr{S}=\{v\in\mathscr{L}(E)\mid u\mathbin{\circ} v-v\mathbin{\circ} u=u\}\).

   1. Montrer que si \(\mathscr{S}\) est non vide, alors l’endomorphisme \(u\) ne peut pas être bijectif. En déduire une condition nécessaire portant sur \(u^2\) pour que \(\mathscr{S}\) soit non vide.

   2. On suppose que \(\mathscr{S}\) est non vide. Établir l’existence d’une base \(\mathscr{B}_1=(e_1,e_2)\) de \(E\) dans laquelle la matrice \(M_u\) de \(u\) s’écrit \(M_u=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right)\) et déterminer la forme générale de la matrice des éléments \(v\) de \(\mathscr{S}\) dans cette même base.

   3. On suppose que \(\mathscr{S}\) est non vide. Montrer que \(\mathscr{S}=\{v_0+\alpha\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E+\beta u,\ \alpha,\ \beta\in\mathbf{R}\}\) où \(v_0\) est un endomorphisme non inversible de \(E\) à déterminer.

[ev.algebre/ex1011] Déterminer les matrices \(A\) de \(\mathscr{S}_2(\mathbf{C})\) telles que \(A^2=A\).

[concours/ex3831] ensi M 1992 Déterminer toutes les matrices \(M\in\mathscr{M}_3(K)\) telles que \(M^2=0\).

[ev.algebre/ex1012] Déterminer les matrices \(A\) de \(\mathscr{S}_2(\mathbf{C})\) telles que \(A^2=I_2\).

[concours/ex8989] tpe MP 2010 Déterminer les matrices \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{Z}/7\mathbf{Z})\) telles que \(A^3=I_n\).

[planches/ex2699] imt PSI 2017 Soit \(A=\pmatrix{1&2&3\cr0&1&2\cr0&0&1}\).

1. Soit \(X\) une matrice telle que \(X^2=A\). Montrer que \(X\) et \(A\) commutent, puis que \(X\) est triangulaire supérieure.

2. Trouver toutes les matrices \(X\) telles que \(X^2=A\).

[oraux/ex7130] centrale PSI 2014 Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) l’équation : \(X^2+X=\pmatrix{1&2\cr2&1}\).

[ev.algebre/ex1211] Trouver une matrice triangulaire supérieure telle que \(A^3=\left(\begin{array}{cc}8&-57\\0&27\end{array}\right)\).

[concours/ex0403] centrale MP 1996 On considère le système : \[\left\{\begin{array}{rcl} XY+YX &=& 0\\ X^2 &=& 0\\ Y^2 &=& 0\\ XY &\neq& 0 \end{array}\right.\quad\hbox{avec}\quad(X,Y)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})^2\,.\]

1. Montrer que, pour \(n=2\), le système n’a pas de solution.

2. Montrer que, pour \(n=2r\) (avec \(r\geqslant 2\)), il y a une solution telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{rg}}{\hbox{rg}}{\mathrm{rg}}{\mathrm{rg}}}\nolimits X=r\).

3. Étudier le cas où \(n\) est impair.

[oraux/ex7041] polytechnique MP 2014 Soit \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\). On suppose que tous les coefficients de \(A\) sont des entiers naturels et que l’ensemble \(\{(A^k)_{i,j},\ (i,j)\in[[1,n]]^2,\ k\in\mathbf{N}\}\) est fini. Montrer que \(A\) est une matrice de permutation.

[concours/ex8412] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2005 Soient \(A\), \(B\), \(C\) dans \(\mathscr{M}_n(K)\). Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe \(X\) dans \(\mathscr{M}_n(K)\) tel que \(C=AXB\).

[concours/ex8772] polytechnique MP 2009 Trouver les \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(A^3+A^2=2I_n\).

[oraux/ex7299] polytechnique, espci PC 2016 Soient \(S\) et \(P\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(P^2=P\), \(S^2=I_n\) et \((S-P)(S+P)=0\). Montrer que \(P=I_n\).

[ev.algebre/ex1104] Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})^2\) : \[XY=\left(\begin{array}{cc}3&1\\2&1\end{array}\right),\quad YX=\left(\begin{array}{cc}5&3\\ -2&-1\end{array}\right).\]

[oraux/ex7072] polytechnique, espci PC 2014 Soit \(n\in\mathbf{N}\setminus\{0,1\}\). Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que \(M^n=\pmatrix{0&1\cr-1&0}\).

[oraux/ex6413] hec courts T 2013 Soit \(a_1\), \(a_2\) et \(a_3\) des réels non nuls et soit \(M\) la matrice définie par \(M=\pmatrix{1&a_1/a_2&a_1/a_3\cr a_2/a_1&1&a_2/a_3\cr a_3/a_1&a_2/a_1&1}\).

1. Calculer \(M^2\). En déduire que la matrice \(M\) n’est pas inversible.

2. Déterminer tous les vecteurs \(Y\) de \(\mathbf{R}^3\) tels que \(MY=3Y\).

[concours/ex4357] hec E 2006 Soit \(A\) la matrice de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) définie par : \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&1\\1&0&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? La matrice \(A\) est-elle inversible ?

2. Déterminer tous les entiers naturels \(p\) et \(q\) tels que \(A^{2p+1}=A^{2q}\).

3. Existe-t-il un entier \(n\) de \(\mathbf{N}\) tel que \(M^n=A\) si :

   1. \(M=\left(\begin{array}{ccc}0&1&2\\1&1&1\\1&2&3\end{array}\right)\)

   2. \(M=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&-1&1\\0&1&1\end{array}\right)\) ?

[planches/ex9692] mines MP 2023 Soient \(A=\pmatrix{1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \cr 0 & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \cr \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \cr \vdots & & \ddots & \ddots & 1 \cr 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1}\) et \(N=A-I_n\).

Soit \((E)\) l’équation matricielle \(X^2=A\).

1. Quelles sont les matrices qui commutent avec \(N\) ?

2. Montrer que les solutions de \((E)\) sont de la forme \(X=\pm\pmatrix{1 & a_1 & \cdots & a_{n-1} \cr 0 & \ddots & \ddots & \vdots \cr \vdots & \ddots & \ddots & a_1 \cr 0 & \cdots & 0 & 1}\). Montrer qu’il y a au plus deux solutions.

3. Rappeler le développement limité à l’ordre \(n\) de \(x\mapsto\sqrt{1+x}\). Résoudre \((E)\).

[oraux/ex6026] hec T 2014

1. Question de cours : Définition d’une matrice inversible.

   On note \(\mathscr{C}\) l’ensemble des matrices \(A\) carrées d’ordre 2 pour lesquelles il existe une matrice \(B\) carrée d’ordre 2 telle que \(B^2=A\). On note \(I\) la matrice identité d’ordre 2.

2. Montrer que si \(B^2=A\), alors \(AB=BA\).

3. Soit \(B=\left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right)\).

   1. Calculer \(B^2\).

   2. En déduire que pour tout réel \(r\), on a : \(rI\in\mathscr{C}\).

4. Soit \(a\) et \(b\) deux réels distincts et \(A=\left(\begin{array}{cc}a&0\\0&b\end{array}\right)\).

   1. Déterminer les matrices qui commutent avec \(A\) (deux matrices \(X\) et \(Y\) commutent si \(XY=YX\)).

   2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(a\) et \(b\) pour que \(A\) appartienne à \(\mathscr{C}\).

5. Pour chacune des deux matrices suivantes, indiquer si elle appartient à \(\mathscr{C}\) : \(\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)\), \(\left(\begin{array}{cc}-1&1\\0&-1\end{array}\right)\).

6. Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre 2 appartenant à \(\mathscr{C}\) et soit \(P\) une matrice inversible d’ordre 2, d’inverse \(P^{-1}\). On pose : \(D=P^{-1}AP\). Montrer que \(D\) appartient à \(\mathscr{C}\).

[oraux/ex7316] polytechnique, espci PC 2016 Soit \(P\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) une matrice non nulle à coefficients dans \(\mathbf{Z}\) et \(M=I_n+3P\). Montrer que \(M^3\neq I_n\). Plus généralement, montrer, pour \(k\in\mathbf{N}\), que \(M^{3^k}\neq I_n\).

[concours/ex8408] centrale 2004 Le corps de base \(\mathbf{K}\) étant celui des réels, puis celui des complexes, trouver les couples \((X,Y)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{K})^2\) tels que \({}^tXYX={}^tYXY=I_n\).

[oraux/ex7755] mines MP 2016 Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{Z}/5\mathbf{Z})\) : \(M^2=\pmatrix{\overline4&\overline2\cr\overline4&\overline1}\).

[planches/ex4585] ens PC 2019 Soit \(\alpha\in\mathbf{C}\). Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) : \(X^3+X=\pmatrix{1&\alpha\cr\alpha&1}\).

[examen/ex1002] hec courts S 2024

1. Soit \(P(x)\in\mathbf{R}[x]\) un polynôme. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que \(P\) définisse une fonction injective, respectivement surjective sur \(\mathbf{R}\).

2. On définit une fonction sur \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) par \(M\longmapsto P(M)\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Montrer que cette fonction n’est jamais injective si le degré de \(P\) est supérieur à 2.

[ev.algebre/ex1106] Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})^2\) : \[XY=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right),\quad YX=\left(\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right).\]

[planches/ex1843] polytechnique, espci PC 2017 Déterminer les \(P\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(P^2=P\) et telles qu’il existe \(a\) et \(b\) réels pour lesquels \(aP+b{}^tP=I_n\).

[oraux/ex6891] polytechnique MP 2013 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(AB^5-B^3AB^2=B\). Montrer que \(B=0\).

[ev.algebre/ex1228] Soit \(B=\left(\begin{array}{cc}1&0\\26&27\end{array}\right)\). Trouver une matrice \(A\) telle que \(A^3=B\).

[concours/ex8522] centrale PC 2005 Trouver les matrices \(M\) de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que : \(M^2=\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&0\end{array}\right)\).

[oraux/ex7178] polytechnique, espci PC 2015 Soit \(\mathscr{N}\) l’ensemble des matrices nilpotentes de l’espace \(\mathscr{S}_2(\mathbf{C})\) des matrices symétriques complexes.

1. Déterminer \(\mathscr{N}\).

2. Déterminer la dimension de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(\mathscr{N})\).

[oraux/ex6915] polytechnique, espci PC 2013 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que \(X^{n+2}+X^n=\pmatrix{1&-1\cr-1&1}\).

[planches/ex9170] ens lyon MP 2023 Soient \(a\), \(b\), \(m\), \(p\) des entiers naturels tels que \(a^2+b^2-pm=-1\).

On pose \(A=\pmatrix{p&a+ib\cr a-ib&m}\). Montrer qu’il existe \(B\in \mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{Q}(i))\) telle que \(A=B^*B\) où \(B^*=\bar{B}^T\). Même question avec \(B\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z}[i])\).

[concours/ex8481] mines PC 2005 Trouver les matrices \(A\) de \(\mathscr{M}_5(\mathbf{R})\) telles que : \(A=A^2-I_5\).

[oraux/ex7230] mines PC 2015 Soient \(A\), \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tels que \(AB-BA=B^2\).

1. Pour \(k\in\mathbf{N}^*\), calculer \(AB^k-B^kA\).

2. En déduire : \(\forall P\in\mathbf{R}[X]\), \(AP(B)-P(B)A=B^2P'(B)\).

[oraux/ex7088] mines MP 2014 Soit \(J=\pmatrix{0&0&1\cr0&1&0\cr1&0&0}\) et \(K=\pmatrix{0&1&0\cr1&0&1\cr0&1&0}\). Déterminer tous les polynômes \(P\) de \(\mathbf{C}[X]\) tels que \(P(J)=K\).

[planches/ex8976] imt PC 2022 Soit \(A\) la matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) dont tous les coefficients valent 1.

On note \(\mathscr{F}=\{M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R}),\ AMA=0\}\).

1. Montrer que \(\mathscr{F}\) est un espace vectoriel. Quelle est sa dimension ?

   On pose \(\mathscr{E}=\{M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R}),\ AMA=A\}\).

2. Pour quels réels \(\lambda\) a-t-on \(\lambda A\in\mathscr{E}\) ?

3. Déterminer les éléments de \(\mathscr{E}\).

[oraux/ex7005] petites mines PSI 2013 Soit \(A=\pmatrix{1&3&5\cr2&4&6\cr3&5&7}\). Trouver toutes les matrices \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(B)\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(B)=\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(A)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(B)\).

[oraux/ex7314] polytechnique, espci PC 2016 Soient \(n\in\mathbf{N}\) avec \(n\geqslant 2\) et \[A=\pmatrix{0&1&0&\cdots&0\cr\vdots&0&1&\ddots&\vdots\cr\vdots&&\ddots&\ddots&0\cr\vdots&&&\ddots&1\cr0&\cdots&\cdots&\cdots&0}.\] Déterminer \(S\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) symétrique et inversible telle que \(AS=S{}^tA\).

[oraux/ex6967] centrale MP 2013 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \((S)\) le système : \((XY+YX=0,\ X^2=Y^2=0,\ XY\neq0)\) d’inconnue \((X,Y)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})^2\).

1. Montrer que \((S)\) n’a pas de solution pour \(n=2\).

2. Montrer que, pour tout \(n\) pair strictement supérieur à 2, le système \(S)\) possède une solution \((X,Y)\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{rg}}{\hbox{rg}}{\mathrm{rg}}{\mathrm{rg}}}\nolimits X=n/2\).

3. Étudier, pour \(n\) impair strictement supérieur à 2, l’existence d’une solution de \((S)\).

[ev.algebre/ex1245] Trouver toutes les matrices carrées réelles telles que \(A^2=B\), où \[B=\left(\begin{array}{cc} 1&4\\0&-9 \end{array}\right).\]

[oraux/ex7651] polytechnique, espci PC 2015 Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(a_{1,1}=-1\), les autres coefficients étant nuls. Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(M^2=A\) ?

[oraux/ex6929] mines MP 2013 Trouver tous les \(X\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) tels que \(X^2=\pmatrix{2&6\cr3&4}\).

[ev.algebre/ex1244] Trouver toutes les matrices carrées réelles telles que \(A^2=B\), où \[B=\left(\begin{array}{cc} 4&21\\0&25 \end{array}\right).\]

[concours/ex8647] polytechnique, espci PC 2008 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) : \(X^n=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right)\).

[oraux/ex7193] polytechnique, espci PC 2015

1. Déterminer la dimension du sous-espace de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) engendré par les matrices \(M\) vérifiant \(M^2=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(1,2)\).

2. Déterminer la dimension du sous-espace de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) engendré par les matrices \(M\) vérifiant \(M^2=I_2\).