Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7047] polytechnique MP 2014 Résoudre l’équation \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(X)=I_n\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

[concours/ex4370] hec E 2001 On considère les matrices suivantes : \(A=\left(\begin{array}{cc}-3&4\\4&-3\end{array}\right)\), \(B=\left(\begin{array}{cc}1&2\\2&1\end{array}\right)\), \(I=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)\).

1. 1. Les matrices \(A\) et \(B\) sont-elles diagonalisables ?

   2. Déterminer les valeurs propres de \(A\) et \(B\).

2. On veut déterminert les matrices \(M\), carrées d’ordre 2 à coefficients réels, vérifiant les conditions : \[(S)\quad\left\{\begin{array}{rcl}M^3-3M^2+3M&=&A\\M^2+2M&=&B\end{array}\right.\] On dira qu’une telle matrice est solution du système \((S)\). On suppose que le système \((S)\) a des solutions et l’on note \(M\) l’une d’entre elles.

   1. Etablir les égalités : \((M-1)^3=A-I\) et \((M+I)^2=B+I\).

   2. En déduire que les matrices \((M-I)\) et \((M+I)\) ne sont pas inversibles.

   3. En déduire que la matrice \(M\) est diagonalisable et vérifie l’égalité \(M^2=I\).

   4. Déterminer toutes les solutions du système \((S)\).

3. On veut déterminer les matrices \(M\) carrées d’ordre 2 à coefficients réels vérifiant l’égalité : \(M^3-3M^2+3M=A\). Notons \(M\) une telle matrice (s’il en existe).

   1. Montrer qu’il existe deux réels \(a\) et \(b\) et une matrice \(P\) inversible tels que l’on a : \(M=P\left(\begin{array}{cc}1&a\\0&b\end{array}\right)P^{-1}\).

   2. En déduire que la matrice \(M^2-4M+7I\) est inversible.

   3. Etablir les égalités : \((M+I)(M^2-4M+7I)=A+7I\).

   4. Déterminer toutes les matrices \(M\) vérifiant l’égalité : \(M^3-3M^2+3M=A\).

[concours/ex0919] centrale MP 1997 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&5&4\\0&0&5\end{array}\right)\). Déterminer les plans stables de \(A\). Résoudre \(X^2=A\).

[concours/ex6638] hec E 2008 Pour tout nombre réel \(a\), on note \(A(a)\) la matrice : \(A(a)=\left[\begin{array}{ccc}2&1&a\\1&1+a&1\\a&1&2\end{array}\right]\).

1. 1. Question de cours : Rappeler la définition d’une matrice diagonalisable.

   2. Montrer que si une matrice est diagonalisable, sa transposée est également diagonalisable.

2. 1. Justifier le fait que pour tout \(a\) réel, la matrice \(A(a)\) est diagonalisable.

   2. Montrer que \(a\) est valeur propre de \(A(a)\) et déterminer la dimension du sous-espace propre associé.

   3. Calculer \(A(a)\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]\) et \(A(a)\left[\begin{array}{c}1\\0\\ -1\end{array}\right]\).

   4. Diagonaliser \(A(a)\).

3. Soit \((x_n)_{n\in\mathbf{N}}\), \((y_n)_{n\in\mathbf{N}}\) et \((z_n)_{n\in\mathbf{N}}\) trois suites réelles vérifiant, pour tout \(n\) entier naturel, \(\left\{\begin{array}{rcl} x_{n+1}&=&2x_n+y_n\\y_{n+1}&=&xn_+y_n+z_n\\z_{n+1}&=&y_n+2z_n \end{array}\right.\)

   1. Si l’on pose pour tout \(n\) entier naturel, \(X_n=\left[\begin{array}{c}x_n\\y_n\\z_n\end{array}\right]\), quelle relation a-t-on entre \(X_{n+1}\) et \(X_n\) ?

   2. Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur \(x_0\), \(y_0\) et \(z_0\) pour que les suites \((x_n)\), \((y_n)\) et \((z_n)\) soient bornées. Que peut-on dire alors de ces trois suites ?

4. 1. Montrer que si \(B\) et \(B'\) sont deux matrices semblables de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) et qu’il existe \(C\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(C^2=B\), alors il existe \(C'\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(C'^2=B'\).

   2. Montrer que si \(B\) et \(C\) sont deux matrices de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(C^2=B\), alors \(BC=CB\).

   3. Si \(a\in\mathbf{R}\), déterminer les matrices de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) commutant avec la matrice \(\left[\begin{array}{ccc}3&0&0\\0&6&0\\0&0&-1\end{array}\right]\).

   4. Existe-t-il une matrice \(M\) de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(M^2=A(3)\) ?

[planches/ex6218] escp S 2021 Soit \(f\) un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\) est \(A=\pmatrix{ 1 & 1 &-1\cr -1 & 3 & -3\cr -2 & 2 & -2}\).

1. 1. Calculer le rang de \(f\). Déterminer une base de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f)\)

   2. Calculer \(A^2\) et son rang.

   3. Déterminer une base de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2)\).

   4. Montrer que \(\mathbf{R}^3=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2) \oplus \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-2Id)\).

   5. En déduire que \(A\) est semblable à la matrice \(B=\pmatrix{ 0 & 1 &0\cr 0 & 0 & 0\cr 0 & 0 & 2}\).

2. Dans cette question, on cherche à déterminer les endomorphismes \(g\) de \(\mathbf{R}^3\) tels que \(g^2=f\).

   1. Montrer que si \(g\) est une solution, alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-2Id)\) sont stables par \(g\).

   2. En déduire les solutions de l’équation \(g^2=f\).