Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex9548] centrale MP 2005

1. Diagonaliser \(M=\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&1\\0&0&0&2\\0&0&0&3\\1&2&3&0\end{array} \right)\).

2. Trouver deux matrices \(A\) et \(B\) telles que \(\forall n\geqslant 1\), \(M^n=14^{n/2}(A+(-1)^nB)\).

3. Déterminer le commutant de \(M\) et sa dimension. En déduire les solutions de l’équation \(X^2=M\).

[examen/ex1069] ens saclay, ens rennes MP 2024 Montrer que toute matrice de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) admet une racine carrée.

[concours/ex6557] mines MP 2006 Trouver les \(M\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \({}^tM=M^2\) et que \(M\) n’ait aucune valeur propre réelle.

[oraux/ex7584] mines PC 2014 Soit \(B\) et \(M\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) avec \(M\) diagonalisable et \(BM=MB\). Existe-t-il \(P\) dans \(\mathbf{R}[X]\) tel que \(B=P(M)\) ?

[planches/ex5675] ccinp PC 2019 Soient \(A=\pmatrix{7&-6\cr3&-2}\) et \(\Delta=\pmatrix{1&0\cr0&4}\).

1. Soit \(X\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(X^2=\Delta\). Montrer que \(X\) et \(\Delta\) commutent puis que \(X\) est diagonale.

2. Résoudre l’équation \(M^2=A\) d’inconnue \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).