Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex6689] mines MP 2021 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension finie, \(u\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(u^3=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\), \(\mu\in\mathbf{R}\), \(x_0\in E\). Résoudre dans \(E\) l’équation \(\mu u(x)+x=x_0\).

[concours/ex0407] centrale MP 1996 Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\), puis dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\), l’équation : \(A^2+A+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}=0\).

[concours/ex6066] centrale PSI 2007 On se place sur \(K=\mathbf{R}\) ou \(\mathbf{C}\). On s’intéresse à l’équation matricielle \(AX-XA=A\) où \(A\), \(X\) sont dans \(\mathscr{M}_n(K)\).

1. Résoudre l’équation lorsque \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}\right)\).

2. On revient au cas général. Si \(AM-MA=A\) que peut-on dire de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A\) ? Calculer \(A^pM-MA^p\) pour tout \(p\in\mathbf{N}\). Que dire des polynômes annulateurs de \(A\) ?

3. On suppose \(A\) nilpotente d’indice \(n\) et on note \(f\) l’endomorphisme canoniquement associé.

   Montrer qu’il existe \(x\in K^n\) tel que \((x,f(x),\ldots,f^{n-1}(x))\) soit une base de \(K^n\). En déduire les endomorphismes \(g\) tels que \(f\mathbin{\circ} g-g\mathbin{\circ} f=f\).

[examen/ex0062] mines PSI 2023 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension \(n\) et \(\alpha\in\mathbf{R}^*\). Déterminer les applications \(u\in\mathscr{L}(E)\) vérifiant \(\alpha u^3=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(u^2)u\).

[planches/ex6374] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes PC 2021

1. Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\). Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :

   1. \(\exists B\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\), \(A=B^2\) ;

   2. \(A=0\) ou \(A^2\neq0\).

2. Déterminer si les matrices suivantes sont des carrés dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) : \[\pmatrix{-1&0\cr0&-1},\quad\pmatrix{1&0\cr0&-1},\quad\pmatrix{0&1\cr-1&0}.\]

3. Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe \(B\) et \(C\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que \(A=B^2+C^2\).