Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex9184] ens paris MP 2023 Le groupe \(\mbox{GL}_2(\mathbf{Q})\) contient-il un élément d’ordre \(5\) ?

[oraux/ex7774] mines PSI 2016 On considère le polynôme \[P=X^5-2X^4-2X^3+X^2+4X+4.\]

1. Trouver les racines de \(P\) parmi \(\{-2,-1,0,1,2\}\) et factoriser \(P\) sous forme de produit d’irréductibles dans \(\mathbf{R}[X]\) puis dans \(\mathbf{C}[X]\).

2. Chercher les entiers \(n>0\) tels qu’il existe une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) vérifiant : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M^3)=0\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(M)=\pm1\) et \(P(M)=0\).

[concours/ex9506] polytechnique PC 2005 Soit \(P\) un polynôme réel tel que la fonction \(x\mapsto P(x)\) de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) est injective. Soient \(A\) et \(B\) des matrices carrées réelles diagonalisables telles que \(P(A)=P(B)\). Montrer que \(A=B\).

[concours/ex9538] centrale MP 2005 Soient \(u\) et \(v\) dans \(\mathscr{L}(\mathbf{R}^n)\) diagonalisables et tels que \(u^3=v^3\). Montrer que \(u=v\).

[concours/ex9765] ens paris MP 2009 Pour \(K=\mathbf{C}\), \(\mathbf{R}\) ou \(\mathbf{Q}\), trouver les \(n\) tels qu’il existe \(A\in\mathscr{M}_n(K)\) \(A^2+2A+5I_n=0\).