Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex4900] mines MP 2019 Déterminer les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(A^5-2A^4-2A^3+A^2+4A+4I_n=0\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)=\pm1\).

[concours/ex9506] polytechnique PC 2005 Soit \(P\) un polynôme réel tel que la fonction \(x\mapsto P(x)\) de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) est injective. Soient \(A\) et \(B\) des matrices carrées réelles diagonalisables telles que \(P(A)=P(B)\). Montrer que \(A=B\).

[planches/ex1385] hec courts S 2017 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(A\) une matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisable. On note \(P\) un polynôme non constant de \(\mathbf{C}[X]\).

Établir l’existence d’une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(P(M)=A\).

[concours/ex8371] centrale 2004 Dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on considère l’équation : \[(E_n)\quad X^2-(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits X)X+(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits X)I_n=0.\] Résoudre l’équation \((E_2)\), puis \((E_3)\), puis \((E_n)\).

[oraux/ex7124] centrale MP 2014 Pour \(n\geqslant 2\), on définit l’équation \((E_n)\) : \(M^2-(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M)M+(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M)I_n=0\) d’inconnue \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

1. Montrer que si \(M_1\) est solution de \((E_n)\) et si \(M_2\) est semblable à \(M_1\) alors \(M_2\) est solution de \((E_n)\).

2. Résoudre \((E_n)\) pour \(n=2\), \(n=3\) puis \(n\geqslant 4\).