Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7396] polytechnique MP 2013 Existe-t-il \(A\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(A)=-I_2\) ?

[oraux/ex7289] polytechnique MP 2016 Résoudre dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) l’équation \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(M)=-I_n\).

[oraux/ex7774] mines PSI 2016 On considère le polynôme \[P=X^5-2X^4-2X^3+X^2+4X+4.\]

1. Trouver les racines de \(P\) parmi \(\{-2,-1,0,1,2\}\) et factoriser \(P\) sous forme de produit d’irréductibles dans \(\mathbf{R}[X]\) puis dans \(\mathbf{C}[X]\).

2. Chercher les entiers \(n>0\) tels qu’il existe une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) vérifiant : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M^3)=0\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(M)=\pm1\) et \(P(M)=0\).

[concours/ex9929] polytechnique, espci PC 2010 Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\). Montrer que \(A\) est diagonalisable si et seulement si, pour tout \(P\in\mathbf{C}[X]\) non constant, il existe \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) tel que \(P(M)=A\).

[concours/ex9506] polytechnique PC 2005 Soit \(P\) un polynôme réel tel que la fonction \(x\mapsto P(x)\) de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) est injective. Soient \(A\) et \(B\) des matrices carrées réelles diagonalisables telles que \(P(A)=P(B)\). Montrer que \(A=B\).