[oraux/ex7441] mines PSI 2013 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(M^3-M^2-M-2I_n=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=0\).
[oraux/ex7441]
[concours/ex8985] centrale PC 2010 Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) tel que \(a^2-4b<0\), \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension finie et \(u\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(u^2+au+b\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E=0\).
[concours/ex8985]
Soit \(x\in E\setminus\{0\}\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(x,u(x))\) est un plan et que ce plan est stable par \(u\).
Montrer que \(E\) est somme directe de plans stables par \(u\). En déduire que la dimension de \(E\) est paire. Pouvait-on le déduire directement de la relation \(u^2+au+b\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E=0\) ?
Déterminer les \(v\in\mathscr{L}(E)\) tels que \(v^2+av+b\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E=0\).
[examen/ex0817] ccinp PC 2023 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(M^3-4M^2+4M=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=0\).
[examen/ex0817]
Montrer que les valeurs propres de \(M\) sont racines de \(P=X^3-4X^2+4X\).
Caractériser les matrices \(M\).
[concours/ex9999] centrale MP 2010 Pour \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on note \(\mathscr{I}_M\) l’ensemble des matrices \(A\) de \(\mathbf{C}[M]\) telles que \(A^2=I_n\).
[concours/ex9999]
On suppose \(M\) diagonalisable et l’on note \(p\) le nombre de ses valeurs propres distinctes. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits\mathbf{C}[M]\) et \(|\mathscr{I}_M|\).
Déterminer \(\mathscr{I}_M\) lorsque \(M\) est nilpotente.
[concours/ex9467] centrale 2004 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). On note \(\mathbf{C}[M]\) l’algèbre des polynômes complexes en \(M\), et \(I_M=\{A\in\mathbf{C}[M],\ A^2=I_n\}\).
[concours/ex9467]
On suppose \(M\) diagonalisable. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits(\mathbf{C}[M])\) ainsi que le cardinal de \(I_M\).
On suppose \(M\) nilpotente. Déterminer \(I_M\).
Quel est le cardinal de \(I_M\) dans le cas général ?
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