Édition de feuilles d'exercices

[fct.R2/ex0321] \(\vec F\) et \(\vec G\) étant deux champs de vecteurs de classe \(C^1\), \(f\) étant un champ de scalaires de classe \(C^1\), montrer que : \[\mathop{\mathchoice{\hbox{div}}{\hbox{div}}{\mathrm{div}}{\mathrm{div}}}\limits(f\vec F)=f\mathop{\mathchoice{\hbox{div}}{\hbox{div}}{\mathrm{div}}{\mathrm{div}}}\limits\vec F+(\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{grad}}{\hbox{grad}}{\mathrm{grad}}{\mathrm{grad}}}}\limits\, f)\cdot\vec F.\] Montrer de même que : \[\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{rot}}{\hbox{rot}}{\mathrm{rot}}{\mathrm{rot}}}}\limits(f\vec F)=f\,\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{rot}}{\hbox{rot}}{\mathrm{rot}}{\mathrm{rot}}}}\limits\vec F+(\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{grad}}{\hbox{grad}}{\mathrm{grad}}{\mathrm{grad}}}}\limits\, f)\wedge\vec F.\]

[fct.R2/ex0323] En utilisant l’expression de la divergence d’une champ de vecteurs défini sur \(\mathbf{R}^3\), en coordonnées sphériques, calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{div}}{\hbox{div}}{\mathrm{div}}{\mathrm{div}}}\limits(\rho^n\mathchoice{\overrightarrow{OM}}{\overrightarrow{OM}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OM}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OM}})\), où \(\rho=OM\neq0\) et \(n\in\mathbf{Z}\). Calculer en particulier \(\mathop{\mathchoice{\hbox{div}}{\hbox{div}}{\mathrm{div}}{\mathrm{div}}}\limits\mathchoice{\overrightarrow{OM}}{\overrightarrow{OM}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OM}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OM}}\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{div}}{\hbox{div}}{\mathrm{div}}{\mathrm{div}}}\limits\displaystyle{\mathchoice{\overrightarrow{OM}}{\overrightarrow{OM}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OM}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OM}}\over\rho}\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{div}}{\hbox{div}}{\mathrm{div}}{\mathrm{div}}}\limits\displaystyle{\mathchoice{\overrightarrow{OM}}{\overrightarrow{OM}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OM}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OM}}\over\rho^3}\).

[fct.R2/ex0851] Si \(f\) est une fonction scalaire et \(\mathbf{F}\) est un champ vectoriel, montrer que : \[\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{rot}}{\hbox{rot}}{\mathrm{rot}}{\mathrm{rot}}}}\limits(f\mathbf{F})=f\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{rot}}{\hbox{rot}}{\mathrm{rot}}{\mathrm{rot}}}}\limits\,\mathbf{F}++\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{grad}}{\hbox{grad}}{\mathrm{grad}}{\mathrm{grad}}}}\limits\,f\wedge\mathbf{F}.\]

[fct.R2/ex0844] Calculer le rotationnel de \(\mathbf{F}=(yz,zx,xy)\).

[fct.R2/ex0320] Montrer que \(\vec V(M)=yz.\vec\imath+zx.\vec\jmath+xy.\vec k\) a une divergence et un rotationnel nuls.