Édition de feuilles d'exercices

[fct.R2/ex0352] On considère un mouvement à accélération centrale de centre \(O\), dont le plan de la trajectoire est contenue dans \(xOy\).

1. Déterminer les composantes de la vitesse et de l’accélération dans le repère polaire en fonction des dérivées de \(\rho\) et de \(\theta\) par rapport à \(t\).

2. En posant \(c=\rho^2\displaystyle{d\theta\over dt}\), déterminer, toujours dans le même polaire, les composantes de la vitesse et de l’accélération en fonction de \(c\), \(U\) et des dérivées successives de \(U=\displaystyle{1\over\rho}\) par rapport à \(\theta\) (\(c\) est appelée constante des aires).

[fct.R2/ex0852] Si \(\mathbf{F}\) et \(\mathbf{G}\) sont deux champs vectoriels; montrer que : \[\mathop{\mathchoice{\hbox{div}}{\hbox{div}}{\mathrm{div}}{\mathrm{div}}}\limits(\mathbf{F}\wedge\mathbf{G})=\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{rot}}{\hbox{rot}}{\mathrm{rot}}{\mathrm{rot}}}}\limits\,\mathbf{F}\cdot\mathbf{G}-\mathbf{F}\cdot\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{rot}}{\hbox{rot}}{\mathrm{rot}}{\mathrm{rot}}}}\limits\,\mathbf{G}.\]

[fct.R2/ex0848] Pour une fonction scalaire \(f(x,y,z)\) de classe \(C^2\), montrer que : \[\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{rot}}{\hbox{rot}}{\mathrm{rot}}{\mathrm{rot}}}}\limits\,\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{grad}}{\hbox{grad}}{\mathrm{grad}}{\mathrm{grad}}}}\limits\,f=\vec0.\]

[fct.R2/ex0845] Calculer la divergence et le rotationnel de \(\mathbf{P}=(x,y,z)\).

[fct.R2/ex0847] Montrer que, pour tout fonction scalaire \(f(x,y,z)\), \[\mathop{\mathchoice{\hbox{div}}{\hbox{div}}{\mathrm{div}}{\mathrm{div}}}\limits\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{grad}}{\hbox{grad}}{\mathrm{grad}}{\mathrm{grad}}}}\limits\,f=\Delta f=D^2f_{xx}+D^2f_{yy}+D^2f_{zz}.\]