Édition de feuilles d'exercices

[fct.R2/ex0847] Montrer que, pour tout fonction scalaire \(f(x,y,z)\), \[\mathop{\mathchoice{\hbox{div}}{\hbox{div}}{\mathrm{div}}{\mathrm{div}}}\limits\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{grad}}{\hbox{grad}}{\mathrm{grad}}{\mathrm{grad}}}}\limits\,f=\Delta f=D^2f_{xx}+D^2f_{yy}+D^2f_{zz}.\]

[fct.R2/ex0854] Montrer que, si \(f\) et \(g\) sont des fonctions scalaires de classe \(C^2\), alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{div}}{\hbox{div}}{\mathrm{div}}{\mathrm{div}}}\limits(\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{grad}}{\hbox{grad}}{\mathrm{grad}}{\mathrm{grad}}}}\limits\,f\wedge\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{grad}}{\hbox{grad}}{\mathrm{grad}}{\mathrm{grad}}}}\limits\,g)=0\).

[fct.R2/ex0329] Si \(\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\), on considère le champ de vecteurs : \[\vec V={1\over3\rho}\left({yz\over x^2+y^2}-{yz\over x^2+z^2},{zx\over y^2+z^2}-{zx\over y^2+x^2},{xy\over z^2+x^2}-{xy\over z^2+y^2}\right).\] Montrer que ce champ est un potentiel vecteur du champ \(\vec W=\displaystyle{\mathchoice{\overrightarrow{OM}}{\overrightarrow{OM}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OM}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OM}}\over\rho^3}\).

[fct.R2/ex0842] Calculer la divergence de \(\mathbf{F}(x,y,z)=(xyz^2,x^2yz,-xyz)\).