Édition de feuilles d'exercices

[fct.R2/ex0352] On considère un mouvement à accélération centrale de centre \(O\), dont le plan de la trajectoire est contenue dans \(xOy\).

1. Déterminer les composantes de la vitesse et de l’accélération dans le repère polaire en fonction des dérivées de \(\rho\) et de \(\theta\) par rapport à \(t\).

2. En posant \(c=\rho^2\displaystyle{d\theta\over dt}\), déterminer, toujours dans le même polaire, les composantes de la vitesse et de l’accélération en fonction de \(c\), \(U\) et des dérivées successives de \(U=\displaystyle{1\over\rho}\) par rapport à \(\theta\) (\(c\) est appelée constante des aires).

[fct.R2/ex0845] Calculer la divergence et le rotationnel de \(\mathbf{P}=(x,y,z)\).

[fct.R2/ex0853] Soit \(\mathbf{P}=(x,y,z)\). Pour toute fonction \(f(u)\), montrer : \[\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{rot}}{\hbox{rot}}{\mathrm{rot}}{\mathrm{rot}}}}\limits\,\left(f(\|\mathbf{P}\|)\,\mathbf{P}\vphantom{()_|}\right)=\vec0.\]

[planches/ex7416] imt PC 2021 Soit \(\varphi\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\). On pose, pour \((x,y)\in\mathbf{R}^*\times\mathbf{R}\), \(f(x,y)=\varphi\left(\displaystyle{y\over x}\right)\).

Montrer que la fonction \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \(\mathbf{R}^*\times\mathbf{R}\) et calculer son laplacien \(\Delta f\).

[fct.R2/ex0854] Montrer que, si \(f\) et \(g\) sont des fonctions scalaires de classe \(C^2\), alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{div}}{\hbox{div}}{\mathrm{div}}{\mathrm{div}}}\limits(\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{grad}}{\hbox{grad}}{\mathrm{grad}}{\mathrm{grad}}}}\limits\,f\wedge\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{grad}}{\hbox{grad}}{\mathrm{grad}}{\mathrm{grad}}}}\limits\,g)=0\).