Édition de feuilles d'exercices

[fct.R2/ex0321] \(\vec F\) et \(\vec G\) étant deux champs de vecteurs de classe \(C^1\), \(f\) étant un champ de scalaires de classe \(C^1\), montrer que : \[\mathop{\mathchoice{\hbox{div}}{\hbox{div}}{\mathrm{div}}{\mathrm{div}}}\limits(f\vec F)=f\mathop{\mathchoice{\hbox{div}}{\hbox{div}}{\mathrm{div}}{\mathrm{div}}}\limits\vec F+(\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{grad}}{\hbox{grad}}{\mathrm{grad}}{\mathrm{grad}}}}\limits\, f)\cdot\vec F.\] Montrer de même que : \[\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{rot}}{\hbox{rot}}{\mathrm{rot}}{\mathrm{rot}}}}\limits(f\vec F)=f\,\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{rot}}{\hbox{rot}}{\mathrm{rot}}{\mathrm{rot}}}}\limits\vec F+(\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{grad}}{\hbox{grad}}{\mathrm{grad}}{\mathrm{grad}}}}\limits\, f)\wedge\vec F.\]

[fct.R2/ex0320] Montrer que \(\vec V(M)=yz.\vec\imath+zx.\vec\jmath+xy.\vec k\) a une divergence et un rotationnel nuls.

[fct.R2/ex0850] Si \(f\) est une fonction scalaire et \(\mathbf{F}\) est un champ vectoriel, montrer que : \[\mathop{\mathchoice{\hbox{div}}{\hbox{div}}{\mathrm{div}}{\mathrm{div}}}\limits(f\mathbf{F})=f\mathop{\mathchoice{\hbox{div}}{\hbox{div}}{\mathrm{div}}{\mathrm{div}}}\limits\mathbf{F}+\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{grad}}{\hbox{grad}}{\mathrm{grad}}{\mathrm{grad}}}}\limits\,f\cdot\mathbf{F}.\]

[fct.R2/ex0841] Calculer la divergence du champ \(\mathbf{F}=\displaystyle{(x,y,z)\over\|(x,y,z)\|^3}={\mathbf{P}\over\|\mathbf{P}\|^3}\), où \(\mathbf{P}=(x,y,z)\) et \(\|\mathbf{P}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\).

[fct.R2/ex0851] Si \(f\) est une fonction scalaire et \(\mathbf{F}\) est un champ vectoriel, montrer que : \[\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{rot}}{\hbox{rot}}{\mathrm{rot}}{\mathrm{rot}}}}\limits(f\mathbf{F})=f\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{rot}}{\hbox{rot}}{\mathrm{rot}}{\mathrm{rot}}}}\limits\,\mathbf{F}++\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{grad}}{\hbox{grad}}{\mathrm{grad}}{\mathrm{grad}}}}\limits\,f\wedge\mathbf{F}.\]

[fct.R2/ex0323] En utilisant l’expression de la divergence d’une champ de vecteurs défini sur \(\mathbf{R}^3\), en coordonnées sphériques, calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{div}}{\hbox{div}}{\mathrm{div}}{\mathrm{div}}}\limits(\rho^n\mathchoice{\overrightarrow{OM}}{\overrightarrow{OM}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OM}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OM}})\), où \(\rho=OM\neq0\) et \(n\in\mathbf{Z}\). Calculer en particulier \(\mathop{\mathchoice{\hbox{div}}{\hbox{div}}{\mathrm{div}}{\mathrm{div}}}\limits\mathchoice{\overrightarrow{OM}}{\overrightarrow{OM}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OM}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OM}}\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{div}}{\hbox{div}}{\mathrm{div}}{\mathrm{div}}}\limits\displaystyle{\mathchoice{\overrightarrow{OM}}{\overrightarrow{OM}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OM}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OM}}\over\rho}\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{div}}{\hbox{div}}{\mathrm{div}}{\mathrm{div}}}\limits\displaystyle{\mathchoice{\overrightarrow{OM}}{\overrightarrow{OM}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OM}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OM}}\over\rho^3}\).

[fct.R2/ex0844] Calculer le rotationnel de \(\mathbf{F}=(yz,zx,xy)\).

[planches/ex7068] mines PC 2021 Soient \(R=\pmatrix{a&b\cr c&d}\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) et \(r\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^2\) canoniquement associé à \(R\). Pour toute fonction \(f\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R}^2,\mathbf{R})\), on note \(\Delta f=\displaystyle{\partial^2f\over\partial x^2}+{\partial^2f\over\partial y^2}\).

Montrer l’équivalence entre :

1. \(\forall f\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R}^2,\mathbf{R})\), \(\Delta(f\mathbin{\circ} r)=(\Delta f)\mathbin{\circ} r\),

2. \(R\in\mathscr{O}_2(\mathbf{R})\).

[planches/ex7416] imt PC 2021 Soit \(\varphi\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\). On pose, pour \((x,y)\in\mathbf{R}^*\times\mathbf{R}\), \(f(x,y)=\varphi\left(\displaystyle{y\over x}\right)\).

Montrer que la fonction \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \(\mathbf{R}^*\times\mathbf{R}\) et calculer son laplacien \(\Delta f\).

[fct.R2/ex0853] Soit \(\mathbf{P}=(x,y,z)\). Pour toute fonction \(f(u)\), montrer : \[\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{rot}}{\hbox{rot}}{\mathrm{rot}}{\mathrm{rot}}}}\limits\,\left(f(\|\mathbf{P}\|)\,\mathbf{P}\vphantom{()_|}\right)=\vec0.\]

[fct.R2/ex0352] On considère un mouvement à accélération centrale de centre \(O\), dont le plan de la trajectoire est contenue dans \(xOy\).

1. Déterminer les composantes de la vitesse et de l’accélération dans le repère polaire en fonction des dérivées de \(\rho\) et de \(\theta\) par rapport à \(t\).

2. En posant \(c=\rho^2\displaystyle{d\theta\over dt}\), déterminer, toujours dans le même polaire, les composantes de la vitesse et de l’accélération en fonction de \(c\), \(U\) et des dérivées successives de \(U=\displaystyle{1\over\rho}\) par rapport à \(\theta\) (\(c\) est appelée constante des aires).

[planches/ex7173] centrale MP 2021 On munit \(\mathbf{R}^n\) de sa structure euclidienne canonique. Soit \(f:\mathbf{R}^n\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^2\).

1. Soit \(u:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^2\). Montrer que \(\Delta(u\mathbin{\circ} f)=(u''\mathbin{\circ} f)\times\|\nabla f\|^2+(u'\mathbin{\circ} f)\Delta(f)\).

2. Soient \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) et \(f_M:x\mapsto f(Mx)\). Exprimer \(\Delta(f_M)\).

[fct.R2/ex0353] On considère une planète \(\mathscr{P}\) (assimilée ici à un point matériel de masse \(m\)) soumise à l’attraction du soleil (assimilé à un point fixe \(O\) de masse \(M\)). Si \(G\) est la constante de gravitation universelle, la force centrale de centre \(O\), appliquée à la planète \(\mathscr{P}\), est \(\vec F=-\displaystyle{GMm\over\rho^2}\,\vec u\), où \(\vec u\) est le vecteur radial.

Déterminer une équation différentielle en \(\displaystyle{1\over\rho}\) par rapport à la variable \(\theta\) vérifiée par le mouvement de \(\mathscr{P}\). Résoudre cette équation différentielle.

[fct.R2/ex0328] Soit le champ de vecteurs défini par \(\vec F(M)=\rho^n\,\mathchoice{\overrightarrow{OM}}{\overrightarrow{OM}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OM}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OM}}\).

1. Calculer \(\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{rot}}{\hbox{rot}}{\mathrm{rot}}{\mathrm{rot}}}}\limits\,\vec F(M)\). Que peut-on en conclure ?

2. Examiner la cas où \(n=-3\). Donner un potentiel scalaire associé \(U\).

[fct.R2/ex0840] Calculer la divergence du champ \(\mathbf{F}=(xy,yz,zx)\).

[fct.R2/ex0355] Quelle doit être la force centrale de centre \(O\) appliquée à un point matériel de masse \(m\) pour qu’il décrive un cercle passant par \(O\) ?

[fct.R2/ex0846] Calculer la divergence et le rotationnel de : \[\mathbf{F}=(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits2x,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2y,\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits z).\]

[fct.R2/ex0354] On considère un point matériel de masse \(m\) soumis de la part de l’origine \(O\) d’un repère galiléen à la force centrale \(\vec F=\displaystyle{Km\over\rho^3}\,\vec u\), où \(\vec u\) est le vecteur radial. On admettra qu’à l’origine \(t=0\), \(\theta(0)=0\), \(\rho(0)=a\), \(\displaystyle{d\rho\over dt}(0)=0\) et \(\vec V=V_0\,\vec v\).

1. Montrer que la constante des aires est ici \(c=aV_0\).

2. Déterminer une équation différentielle en \(\displaystyle{1\over\rho}\) par rapport à la variable \(\theta\) vérifiée par le mouvement. Résoudre cette équation différentielle en discutant selon le signe de \(K+c^2\).

[fct.R2/ex0327] Le champ de vecteurs \(\vec F(M)=(yz-x^2)\vec\imath+(zx-y^2)\vec\jmath+(xy-z^2)\vec k\), dérive-t-il d’un potentiel scalaire ? Si oui, déterminer le potentiel correspondant.

[fct.R2/ex0845] Calculer la divergence et le rotationnel de \(\mathbf{P}=(x,y,z)\).

[fct.R2/ex0854] Montrer que, si \(f\) et \(g\) sont des fonctions scalaires de classe \(C^2\), alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{div}}{\hbox{div}}{\mathrm{div}}{\mathrm{div}}}\limits(\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{grad}}{\hbox{grad}}{\mathrm{grad}}{\mathrm{grad}}}}\limits\,f\wedge\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{grad}}{\hbox{grad}}{\mathrm{grad}}{\mathrm{grad}}}}\limits\,g)=0\).

[fct.R2/ex0351] \(\mathbf{R}^3\) étant rapporté à \((O,\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)\), on considère un mouvement de trajectoire contenue dans le plan \(xOy\). Montrer que si \((\vec u,\vec v)\) est le repère polaire et \(\vec V\) est le vecteur vitesse du mouvement, nous avons en notant \(\mathchoice{\overrightarrow{OM}}{\overrightarrow{OM}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OM}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OM}}=\rho\,\vec u\) : \[\mathchoice{\overrightarrow{OM}}{\overrightarrow{OM}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OM}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OM}}\wedge\vec V=\rho^2{d\theta\over dt}\,\vec k.\] Que se passe-t-il si le mouvement est à accélération centrale de centre \(O\) ?

[fct.R2/ex0849] Pour un champ vectoriel \(\mathbf{F}(x,y,z)=\left(f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z)\vphantom{1^2_2}\right)\) de classe \(C^2\), montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{div}}{\hbox{div}}{\mathrm{div}}{\mathrm{div}}}\limits\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{rot}}{\hbox{rot}}{\mathrm{rot}}{\mathrm{rot}}}}\limits\,\mathbf{F}=0\).

[fct.R2/ex0848] Pour une fonction scalaire \(f(x,y,z)\) de classe \(C^2\), montrer que : \[\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{rot}}{\hbox{rot}}{\mathrm{rot}}{\mathrm{rot}}}}\limits\,\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{grad}}{\hbox{grad}}{\mathrm{grad}}{\mathrm{grad}}}}\limits\,f=\vec0.\]

[fct.R2/ex0852] Si \(\mathbf{F}\) et \(\mathbf{G}\) sont deux champs vectoriels; montrer que : \[\mathop{\mathchoice{\hbox{div}}{\hbox{div}}{\mathrm{div}}{\mathrm{div}}}\limits(\mathbf{F}\wedge\mathbf{G})=\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{rot}}{\hbox{rot}}{\mathrm{rot}}{\mathrm{rot}}}}\limits\,\mathbf{F}\cdot\mathbf{G}-\mathbf{F}\cdot\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{rot}}{\hbox{rot}}{\mathrm{rot}}{\mathrm{rot}}}}\limits\,\mathbf{G}.\]

[fct.R2/ex0843] Pour un champ \(\mathbf{F}(x,y,z)=\left(f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z)\vphantom{1^2_2}\right)\), définir le rotationnel \(\mathop{\mathchoice{\hbox{rot}}{\hbox{rot}}{\mathrm{rot}}{\mathrm{rot}}}\limits\mathbf{F}\).

[fct.R2/ex0847] Montrer que, pour tout fonction scalaire \(f(x,y,z)\), \[\mathop{\mathchoice{\hbox{div}}{\hbox{div}}{\mathrm{div}}{\mathrm{div}}}\limits\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{grad}}{\hbox{grad}}{\mathrm{grad}}{\mathrm{grad}}}}\limits\,f=\Delta f=D^2f_{xx}+D^2f_{yy}+D^2f_{zz}.\]

[fct.R2/ex0329] Si \(\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\), on considère le champ de vecteurs : \[\vec V={1\over3\rho}\left({yz\over x^2+y^2}-{yz\over x^2+z^2},{zx\over y^2+z^2}-{zx\over y^2+x^2},{xy\over z^2+x^2}-{xy\over z^2+y^2}\right).\] Montrer que ce champ est un potentiel vecteur du champ \(\vec W=\displaystyle{\mathchoice{\overrightarrow{OM}}{\overrightarrow{OM}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OM}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OM}}\over\rho^3}\).

[fct.R2/ex0842] Calculer la divergence de \(\mathbf{F}(x,y,z)=(xyz^2,x^2yz,-xyz)\).