Édition de feuilles d'exercices

[fct.reelles/ex3988] Étudier à l’aide de développements limités les branches infinies de la fonction suivante : direction asymptotique ? asymptote ? branche parabolique ? courbe asymptote ? position de la courbe par rapport à l’asymptote ? \[f:x\longmapsto\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+4}.\]

[concours/ex6115] centrale PC 2007 Soit \(f:x\in\left]-1,1\right[\mapsto x^2+x^5\).

1. Montrer qu’il existe \((\alpha,\beta)\in\left]-1,0\right[\times\left]0,1\right[\) tel que, pour tout \(x\) dans \(E\), il existe un unique \(y\) distinct de \(x\) tel que \(f(y)=f(x)\), où \(E=\left]-\alpha,0\right[\cup\left]0,\beta\right[\). On note \(g(x)\) ce \(y\). Chercher la plus grande valeur de \(\alpha\).

2. Montrer que \(g\) est continue, décroissante, de classe \(C^1\) sur \(E\) et prolongeable par continuité en 0.

3. Montrer que \(g(x)\sim-x\) en 0, puis que \(g(x)+x\sim ax^p\) (avec \(p>1\) et \(a\neq0\)) en 0.

4. Montrer que, au voisinage de 0, \(g(x)=-x+ax^p+bx^q+o(x^q)\), avec \(q>p\) et \(b\neq0\).

5. On prend \(x=0,4\). Calculer \(f(x)\) puis évaluer \(f'(x)\).

[fct.reelles/ex1048] Déterminer la position relative de la courbe représentative de \(f\) par rapport à son asymptote oblique au voisinage de \(+\infty\), pour \[f:x\mapsto\displaystyle{x^3\over(x^2+1)\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits x}.\]

[fct.reelles/ex3979] Étudier \(f\) au voisinage de \(x_0=0\), la tracer au voisinage de \(M_0\left(\vphantom{_|}x_0,f(x_0)\right)\) (on étudiera la possibilité de la prolonger par continuité, la dérivabilité, la position de la courbe par rapport à la tangente…) : \[f:x\longmapsto{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+x)\over e^x-1}.\]

[fct.reelles/ex0361] Soit \(f\) la fonction définie pour \(x\in\mathbf{R}^*\) par \[f(x)={x\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits x-\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits x\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits x-1}\,.\]

1. Écrire le développement limité à l’ordre \(4\) de \(f(x)\) en \(0\).

2. En déduire le prolongement par continuité de \(f\) en \(0\).

3. Montrer que \(f\), ainsi prolongée, est dérivable en \(0\).

   Préciser la position de la courbe représentative de \(f\) par rapport à sa tangente au point d’abscisse \(0\), au voisinage de ce point.