Édition de feuilles d'exercices

[fct.reelles/ex3980] Étudier \(f\) au voisinage de \(x_0=0\), la tracer au voisinage de \(M_0\left(\vphantom{_|}x_0,f(x_0)\right)\) (on étudiera la possibilité de la prolonger par continuité, la dérivabilité, la position de la courbe par rapport à la tangente…) : \[f:x\longmapsto\sqrt[3]{x^2(x-1)}.\]

[fct.reelles/ex4254] Déterminer l’asymptote et la position par rapport à l’asymptote, au voisinage de \(\pm\infty\), de la courbe représentative de : \[f:x\longmapsto(x+1)e^{\textstyle{1\over x}}.\]

[fct.reelles/ex0361] Soit \(f\) la fonction définie pour \(x\in\mathbf{R}^*\) par \[f(x)={x\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits x-\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits x\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits x-1}\,.\]

1. Écrire le développement limité à l’ordre \(4\) de \(f(x)\) en \(0\).

2. En déduire le prolongement par continuité de \(f\) en \(0\).

3. Montrer que \(f\), ainsi prolongée, est dérivable en \(0\).

   Préciser la position de la courbe représentative de \(f\) par rapport à sa tangente au point d’abscisse \(0\), au voisinage de ce point.

[fct.reelles/ex3989] Étudier à l’aide de développements limités les branches infinies de la fonction suivante : direction asymptotique ? asymptote ? branche parabolique ? courbe asymptote ? position de la courbe par rapport à l’asymptote ? \[f:x\longmapsto xe^{1/x}.\]

[oraux/ex4570] ccp PC 2011 Soit \(f:x\mapsto x(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits (1+2x)-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x)\). Déterminer le comportement de \(f\) en \(+\infty\). Déterminer l’équation de la droite asymptote à la courbe en \(+\infty\) ainsi que les positions relatives de la courbe et de son asymptote en \(+\infty\).