Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex5606] centrale MP 2012 (avec Maple)

1. Si \(x\in\mathbf{R}^+\), montrer qu’il existe un unique \(y\in\mathbf{R}^+\) tel que \(y^4+y=x\). On le note \(f(x)\).

2. Étudier la régularité de \(f\).

3. Tracer le graphe de \(f\) sur \([0,1]\).

4. Donner le développement limité de \(f\) à l’ordre \(6\) en 0.

5. Conjecturer puis démontrer une propriété de ce développement limité.

[fct.reelles/ex1350] Étude locale au voisinage de \(0\) de la fonction : \[f:x\longmapsto \mathop{\mathchoice{\hbox{arcsin}}{\hbox{arcsin}}{\mathrm{arcsin}}{\mathrm{arcsin}}}\nolimits\bigl(e^{-x^2}\bigr).\]

[fct.reelles/ex3986] Étudier à l’aide de développements limités les branches infinies de la fonction suivante : direction asymptotique ? asymptote ? branche parabolique ? courbe asymptote ? position de la courbe par rapport à l’asymptote ? \[f:x\longmapsto{x^4-6x^2+1\over x^2+1}.\]

[fct.reelles/ex1272] Soit \[f(x)=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\displaystyle{1\over x}\sqrt{x^4+x^3+1}.\] En déterminant un développement limité généralisé de \(f(x)\) en \(+\infty\), montrer que la courbe d’équation \(y=f(x)\) est asymptote à une parabole dont on donnera une équation.

[concours/ex6115] centrale PC 2007 Soit \(f:x\in\left]-1,1\right[\mapsto x^2+x^5\).

1. Montrer qu’il existe \((\alpha,\beta)\in\left]-1,0\right[\times\left]0,1\right[\) tel que, pour tout \(x\) dans \(E\), il existe un unique \(y\) distinct de \(x\) tel que \(f(y)=f(x)\), où \(E=\left]-\alpha,0\right[\cup\left]0,\beta\right[\). On note \(g(x)\) ce \(y\). Chercher la plus grande valeur de \(\alpha\).

2. Montrer que \(g\) est continue, décroissante, de classe \(C^1\) sur \(E\) et prolongeable par continuité en 0.

3. Montrer que \(g(x)\sim-x\) en 0, puis que \(g(x)+x\sim ax^p\) (avec \(p>1\) et \(a\neq0\)) en 0.

4. Montrer que, au voisinage de 0, \(g(x)=-x+ax^p+bx^q+o(x^q)\), avec \(q>p\) et \(b\neq0\).

5. On prend \(x=0,4\). Calculer \(f(x)\) puis évaluer \(f'(x)\).