Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex6328] escp S 2016 Soit un espace probabilisé \((\Omega,{\cal P}(\Omega ), P)\), où \(\Omega\) est un ensemble fini.

On note \({\cal F}\) l’ensemble des variables aléatoires réelles définies sur \(\Omega\) (qui sont toutes les applications de \(\Omega\) dans \(\mathbf{R}\)). On rappelle que \({\cal F}\) est un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel.

Si \(A\) est une partie de \(\Omega\), on note \({\bf 1}_A\) la fonction caractéristique de \(A\), c’est-à-dire l’application définie par : \[\forall\omega\in \Omega,\quad{\bf 1}_A(\omega)=\cases{ 1 & si $\omega\in A$\cr 0 & sinon}\]

1. Soit \(A \subset \Omega\). Calculer l’espérance \(E({\bf 1}_A)\) de \({\bf 1}_A\).

2. Montrer que l’application \(\varphi: (X,Y) \mapsto E(XY)\) définie sur \({\cal F}\times {\cal F}\) est un produit scalaire sur \({\cal F}\) si et seulement si pour tout \(\omega\in \Omega\), on a : \(P(\{\omega\}) > 0\).

   Dans la suite de l’exercice, on supposera que \(P\) vérifie cette propriété et \({\cal F}\) sera muni de ce produit scalaire.

3. Soient \(X\), \(Y \in {\cal F}\) deux variables aléatoires non constantes.

   On note \(G\) le sous-espace vectoriel de \({\cal F}\) engendré par \(X\) et la variable aléatoire constante égale à 1, c’est-à-dire que \(G=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits (X,{\bf 1}_\Omega)\).

   1. Montrer l’existence et l’unicité de \((a_0,b_0)\in\mathbf{R}^2\) tel que \(Y -a_0 X -b_0\) est orthogonal à tout élément de \(G\).

   2. En déduire l’expression de la projection orthogonale de \(Y\) sur \(G\).

      On la notera \(p_G(Y)\).

   3. Comparer \(E(p_G(Y))\) et \(E(Y)\).

   4. On suppose que \(X = {\bf 1}_A\), où \(A\) est une partie de \(\Omega\) non vide et distincte de \(\Omega\).

      Montrer que pour tout \(B \subset \Omega\) : \[p_G({\bf 1}_B) = P_A(B){\bf 1}_A+ P_{\overline A}(B){\bf 1}_{\overline{A}},\] où \(P_V(U)\) désigne la probabilité conditionnelle de l’événement \(U\), sachant que l’événement \(V\) est réalisé.

[planches/ex7292] centrale PC 2021 On dispose d’une pièce donnant Pile avec la probabilité \(p\in\left]0,1\right[\). On lance cette pièce jusqu’à obtenir Pile. Si Pile apparait pour la première fois au \(N\)-ième lancer, on effectue une série de \(N\) lancers avec cette même pièce et on note \(X\) le nombre de Pile obtenus au cours de cette deuxième série de lancers.

1. Déterminer la loi de \(N\).

2. Déterminer la loi du couple \((N,X)\).

3. Déterminer la loi de \(X\) et son espérance.

[planches/ex3306] polytechnique MP 2018 Sur un même espace probabilisé, on considère deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\), dont \(X\) à valeurs dans \(\mathbf{R}\) et d’espérance finie, et \(Y\) à valeurs dans un ensemble \(A\).

1. Montrer qu’il existe une fonction \(h:A\rightarrow\mathbf{R}\) telle que, pour toute fonction bornée \(g:A\rightarrow Y\), on ait \(\mathbf{E}(Xg(Y))=\mathbf{E}(h(Y)g(Y))\). Montrer l’unicité d’une telle fonction sous réserve que \(\mathbf{P}(Y=y)>0\) pour tout \(y\in A\). On fait cette hypothèse dans la suite de l’énoncé.

2. Montrer que, pour tout \(y\in A\), le réel \(h(y)\) est l’espérance de la variable aléatoire \(X\) pour la loi de probabilité conditionnelle \(\mathbf{P}(Y=y)\).

3. On se donne ici deux variables aléatoires indépendantes \(X_1\) et \(X_2\) suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\). On se donne \(f:\mathbf{N}\rightarrow\mathbf{R}\) telle que \(X=f(X_1)\) soit d’espérance finie. On pose \(Y=X_1+X_2\). Expliciter dans ce cas la variable aléatoire \(h(X)\) où \(h\) est précisée dans la première question.

[oraux/ex8353] mines PC 2015 Un QCM comporte 20 questions. Pour chacune des questions, il y a \(k\) réponses possibles. On obtient un point par bonne réponse. On répond au hasard, on note \(X\) le nombre de points obtenus. On nous rend le QCM dans lequel on peut modifier les réponses fausses ; on obtient un demi-point pour chaque nouvelle réponse juste obtenue (réponse au hasard parmi les \((k-1)\) restantes). Soit \(Y\) le nombre de points obtenus la deuxième fois.

1. Déterminer la loi de \(X\).

2. Déterminer l’espérance de \(Y\). Déterminer \(k\) pour que \(\mathbf{E}(Y)=5\).

[oraux/ex6359] escp courts 2016 On utilise une pièce de monnaie qui donne pile avec la probabilité \(p \in\left]0,1\right[\).

On commence par lancer la pièce jusqu’à obtenir une première fois Pile et on note \(N\) le nombre de lancers nécessaires. Si le premier Pile a été obtenu au \(n\)-ième lancer, on lance ensuite cette même pièce \(n^2\) fois et on note \(X\) le nombre de Pile obtenus au cours de ces \(n^2\) lancers.

1. Quelle est la loi suivie par \(N\) ? Donner l’espérance et la variance de \(N\).

2. Soit \(n \in \mathbf{N}^*\). Déterminer la loi conditionnelle de \(X\) sachant l’événement \((N=n)\).

3. En déduire l’existence et la valeur de l’espérance de \(X\).