Édition de feuilles d'exercices

[probas/ex0001] Dans une urne, on place \(n\) boules portant des numéros 2 à 2 distincts.

Un premier joueur effectue des tirages d’une boule sans remise jusqu’à ce qu’il obtienne la boule portant le plus grand numéro.

On note \(X_1\) le nombre de tirages effectués par ce joueur.

S’il reste des boules dans l’urne, un second joueur effectue la même expérience sur les boules restantes.

On note \(X_2\) le nombre de tirages effectués par ce second joueur.

1. Déterminer la loi de \(X_1\) et \(E(X_1)\).

2. Déterminer la loi de \(X_2\) conditionnée par \(X_1\).

3. Calculer \(E(X_2)\).

[planches/ex7895] polytechnique, espci PC 2022 On lance une pièce équilibrée autant de fois qu’il le faut avant de tomber sur pile. On note \(n\) le nombre total de lancers puis on tire aléatoirement un entier de 1 à \(n\) avec probabilité uniforme. On note \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre ainsi tiré.

1. Calculer \(\mathbf{P}(X=1)\).

2. Calculer l’espérance puis la variance de \(X\).

[oraux/ex8390] centrale PC 2015 (avec Python)

Une urne contient des boules numérotées de 1 à \(n\). Le premier joueur tire des boules de l’urne sans remise. Il s’arrête lorsqu’il obtient la boule portant le numéro \(n\). On note \(X_1\) le nombre de tirages effectués par le premier joueur. Le deuxième joueur effectue des tirages sans remise jusquà ce qu’il obtienne la boule de numéro maximal restant dans l’urne. On note \(X_2\) le nombre de tirages effetcués par le deuxième joueur. On pose \(X_2=0\) si \(X_1=n\).

1. Déterminer la loi, l’espérance et la variance de \(X_1\).

2. Déterminer \(\mathbf{P}(X_2=k|X_1=j)\). En déduire la loi de \(X_2\) ainsi que son espérance.

3. Écrire une fonction simulant \(X_1\) et \(X_2\).

[concours/ex4727] escp S 2003 On considère une urne contenant \(n\) boules numérotées portant des numéros deux à deux distincts.

Un premier joueur effectue dans l’urne des tirages sans remise jusqu’à ce qu’il obtienne la boule portant le plus grand numéro. On note \(X_1\) le nombre de tirages effectués par ce joueur.

S’il reste des boules dans l’urne, un deuxième joueur effectue la même expérience (c’est-à-dire qu’il effectue des tirages sans remise jusqu’à obtenir la boule de plus grand numéro parmi celles présentent au moment où il entre en jeu).

On note \(X_2\) le nombre de tirages effectués par ce second joueur (nombre qui vaut éventuellement 0).

1. Donner la loi, l’espérance et la variance de \(X_1\).

2. Donner la loi de \(X_2\) conditionnée par \(X_1\).

   En déduire que pour \(1\leqslant k\leqslant n-1\), \(P(X_2=k)=\displaystyle{1\over n}\sum\limits_{i=k}^{n-1}{1\over i}\), puis donner la loi de \(X_2\).

3. Calculer l’espérance \(E(X_2)\).

4. Écrire un programme Pascal choisissant et affichant \(n\) numéros distincts entre 1 et 100, (\(n\) est entré au clavier) puis calculant \(X_1\) et \(X_2\), si l’on suppose que les tirages sont effectués dans l’ordre choisi par l’ordinateur. On pourra s’aider des lignes de programme suivantes, après avoir expliqué ce qu’elles font : REPEAT b[i] := RANDOM(100)+1;
a := 0;
FOR j :=1 TO i-1 DO
IF b[i]=b[j] THEN a := a+1;
UNTIL a=0;

   (on rappelle que RANDOM(100) retourne au hasard une valeur entre 0 et 99.)

[concours/ex4920] escp S 2001 Dans cet exercice, \(\Omega\) désigne un ensemble fini non vide, \({\cal P}(\Omega )\) l’ensemble des parties de \(\Omega\) et \((\Omega, {\cal P}(\Omega ), P)\) un espace probabilisé.

On note \({\cal F}\) l’ensemble des applications de \(\Omega\) dans \(\mathbf{R}\). Si \(X \in {\cal F}\), on note \(E(X)\) l’espérance de la variable aléatoire \(X\).

Si \(A\) est une partie de \(\Omega\), on note \(1_A\) la fonction caractéristique de \(A\), c’est-à-dire l’application définie pour tout \(\omega \in \Omega\) par : \[1_A(\omega)= \cases{1 & si $ \omega \in A$\cr 0 & sinon.\cr }\]

1. Soit \(A \subset \Omega\). Calculer \(E(1_A)\).

2. Montrer que l’application \(\varphi\) définie sur \({\cal F}\times {\cal F}\) par : \(\varphi~: (X,Y) \mapsto E(XY)\), est un produit scalaire sur \({\cal F}\) si et seulement si pour tout \(\omega \in \Omega,\ P(\{\omega\}) > 0\).

   Dans la suite de l’exercice, on supposera que \(P\) vérifie cette propriété et \({\cal F}\) sera muni de ce produit scalaire.

3. Soit \(X \in {\cal F}\) une variable aléatoire non constante.

   On note \(G\) le sous-espace vectoriel de \({\cal F}\) engendré par \(X\) et la variable aléatoire constante égale à 1, soit \(G=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits (X,1_\Omega)\). Soit \(Y \in {\cal F}\).

   1. Déterminer les réels \(a_0\) et \(b_0\) pour lesquels \(Y -a_0 X -b_0\) est orthogonal à tout élément de \(G\).

   2. En déduire l’expression de la projection orthogonale de \(Y\) sur \(G\) qu’on notera \(p_G(Y)\).

   3. Comparer \(E(p_G(Y))\) et \(E(Y)\).

   4. On suppose que \(X = 1_A\), avec \(A\) partie de \(\Omega\) non vide et distincte de \(\Omega\). Montrer que pour tout \(B \subset \Omega\) : \[p_G(1_B) = P(B/A) 1_A+ P(B/\overline{A}) 1_{\overline{A}},\] où \(P(U/V)\) désigne la probabilité conditionnelle de l’événement \(U\), sachant que l’événement \(V\) est réalisé.