Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex2585] centrale PSI 2017 Soit \(p\in\left]0,1\right[\). On se donne une pièce qui tombe sur pile avec la probabilité \(p\). On la lance jusqu’à obtenir deux fois pile et on note \(X\) le nombre de faces obtenues.

1. Donner la loi de \(X\).

2. Montrer l’existence et donner la valeur de l’espérance de \(X\).

3. Si \(X=n\), on place \(n+1\) boules numérotées de 0 à \(n\) dans une urne. On pioche une boule au hasard et \(Y\) désigne le numéro de la boule piochée. Donner la loi de \(Y\) et son espérance.

[planches/ex3594] mines MP 2018

1. Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre \(p\in\left]0,1\right[\). Calculer \(\mathbf{E}(1/X)\).

2. Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre \(\lambda>0\). Calculer \(\displaystyle\mathbf{E}\left({1\over1+X}\right)\).

3. Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement des lois géométriques de paramètres \(p\) et \(q\). Déterminer \(\mathbf{E}(\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{X,Y\})\).

[planches/ex8634] centrale PSI 2022 (avec Python)

Deux amis se sont donné rendez-vous à 18 heures. Ils arrivent en retard de \(X\) et \(Y\) minutes respectivement. On suppose que \(X\) et \(Y\) sont des variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur \(\{0,\ldots,59\}\).

1. À quoi correspond la variable \(T=|X-Y|\) ?

2. Donner la loi de \(T\).

3. Écrire une fonction rdv(n) qui renvoie les résultats de \(n\) simulations de \(T\).

4. 1. Calculer la valeur exacte de l’espérance de \(T\).

   2. Donner une approximation de l’espérance avec Python. Commenter l’écart.

5. On pose \(n=10^5\). Donner une fonction qui renvoie approximativement la loi de \(T\) à l’aide de la fonction rdv. Commenter les écarts.

6. On découpe une heure en \(N\) divisions de temps. Donner un équivalent de la probabilité que les amis arrivent en même temps lorsque \(N\) tend vers \(+\infty\).

[planches/ex8261] mines PSI 2022 Soient \(X\), \(Y\) des variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramètres \(p_1\) et \(p_2\). On pose \(M=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(X,Y)\).

1. Justifier que \(M\) est une variable aléatoire.

2. Déterminer la loi de \(M\).

3. Déterminer l’espérance et la variance de \(M\) en utilisant \(m=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\).

[planches/ex8154] mines MP 2022 Soient \(X_1\) et \(X_2\) des variables aléatoires indépendantes de lois géométriques de paramètres \(p_1\) et \(p_2\). On pose \(X=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X_1,X_2)\) et \(Y=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(X_1,X_2)\). Déterminer les espérances de \(X\) et \(Y\).