[planches/ex7292] centrale PC 2021 On dispose d’une pièce donnant Pile avec la probabilité \(p\in\left]0,1\right[\). On lance cette pièce jusqu’à obtenir Pile. Si Pile apparait pour la première fois au \(N\)-ième lancer, on effectue une série de \(N\) lancers avec cette même pièce et on note \(X\) le nombre de Pile obtenus au cours de cette deuxième série de lancers.
[planches/ex7292]
Déterminer la loi de \(N\).
Déterminer la loi du couple \((N,X)\).
Déterminer la loi de \(X\) et son espérance.
[oraux/ex8489] mines MP 2016 Soient \(p\), \(q\) deux réels, \(X\), \(Y\) deu variables aléatoires entières et \({}\geqslant 0\) telles que : \[\forall(m,n)\in\mathbf{N}^2,\qquad\mathbf{P}(X=m,Y=n)=p^2q^{n+m}.\]
[oraux/ex8489]
À quelles conditions sur le couple \((p,q)\) la relation précédente définit-elle bien la loi conjointe de \((X,Y)\) ?
Déterminer alors les lois marginales de \(X\) et de \(Y\), l’espérance de \(X+Y\).
Pour \(k\in\mathbf{N}\) calculer \(F_X(k)=\mathbf{P}(X\leqslant k)\).
On pose \(Z=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{X,Y\}\) et \(T=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits\{X,Y\}\).
Pour \(k\in\mathbf{N}\) calculer \(F_Z(k)=\mathbf{P}(Z\leqslant k)\). En déduire la loi de \(Z\) ainsi que son espérance.
Déterminer l’espérance de \(|X-Y|\).
[planches/ex2161] mines MP 2017 Soient \(p\in[0,1]\) et \(q=1-p\). On définit \(X\) et \(Y\) des variables aléatoires à valeurs entières telles que, pour tout \((m,n)\in\mathbf{N}^2\), on ait \(\mathbf{P}(X=m,Y=n)=p^2q^{m+n}\).
[planches/ex2161]
Déterminer les lois marginales de \(X\) et de \(Y\). Calculer \(\mathbf{E}(X+Y)\).
Calculer \(\mathbf{P}(X\leqslant k)\) pour \(k\in\mathbf{N}\).
On note \(Z=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{X,Y\}\) et \(T=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits\{X,Y\}\).
Trouver la loi de \(Z\) et calculer son espérance.
Calculer \(\mathbf{E}(|X-Y|)\).
Déterminer la loi de \(T\).
Déterminer la loi de \((X,Z)\) et retrouver la loi de \(Z\).
Déterminer \(\mathbf{P}(X+Y=m)\) pour \(m\in\mathbf{N}\).
[oraux/ex6074] escp S 2014 Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé \((\Omega, \mathscr{A}, P)\) admettant un moment d’ordre \(2\).
[oraux/ex6074]
Déterminer la valeur qui minimise l’application définie sur \(\mathbf{R}\) par \(x\mapsto E((X-x)^2)\), où \(E\) désigne l’opérateur espérance.
Dans la suite de l’exercice, on considère un ensemble fini \(\Omega=\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}\) et \((\Omega, \mathscr{P}(\Omega), P)\) un espace probabilisé de support \(\Omega\).
Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur cet espace. Pour tout réel \(t\), on définit l’application \(P_t~: \Omega \rightarrow \mathbf{R}\) par : \[\hbox{pour tout }A\in\mathscr{P}(\Omega),\ P_t(A)={E({\bf 1}_A\, e^{tX})\over E(e^{tX})}\] où \({\bf 1}_A\) est la fonction indicatrice de l’ensemble \(A\).
Montrer que l’on définit ainsi une probabilité sur \(\Omega\) et que pour tout \(\omega\in \Omega\) : \[P_t(\omega)={P(\omega)e^{tX(\omega)}\over E(e^{tX})}\]
Soit \(Y\) une variable aléatoire définie sur \((\Omega,\mathscr{P}(\Omega),P_t)\). Calculer \(E_t(Y)\).
Que peut-on dire de \(E_t(Y)\) si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes ?
Dans cette question \(\Omega=\{0, 1, \ldots, n\}\) et \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\). On pose \(Y=2^X\). Calculer \(E_t(Y)\).
On revient au cas général. À l’aide de la question préliminaire, montrer que : \[E_t((X-E_t(X))^2) \leqslant{1\over4}\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{\omega\in\Omega}X(\omega)- \mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits_{\omega \in \Omega} X(\omega)\right)^2\]
[concours/ex9106] hec E 2010 Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{A},\mathbf{P})\), qui suit la loi binomiale \(\mathscr{B}(n,p)\), avec \(n\geqslant 2\) et \(0<p<1\).
[concours/ex9106]
On définit sur \((\Omega,\mathscr{A},\mathbf{P})\) une variable aléatoire \(Y\) de la façon suivante :
pour tout \(k\) de \([[1,n]]\), la réalisation de l’événement \([X=k]\) entraîne celle de l’événement \([Y=k]\) ;
la loi conditionnelle de \(Y\) sachant \([X=0]\) est la loi uniforme sur \([[1,n]]\).
Question de cours : Le modèle binomial.
Déterminer la loi de probabilité de \(Y\).
Calculer l’espérance \(\mathbf{E}(Y)\) de \(Y\).
Déterminer la loi de probabilité conditionnelle de \(Y\) sachant \([X\neq0]\).
Calculer l’espérance, notée \(\mathbf{E}(Y/X\neq0)\), de la loi conditionnelle de \(Y\) sachant \([X\neq0]\).
Dans la page dédiée à l'examen d'un exercice, vous pouvez choisir de déployer toute sa famille par défaut ou non