Édition de feuilles d'exercices

[probas/ex0326] Un sac contient 6 jetons numérotés de 1 à 6. On en tire successivement 3 sans remise. Soit \(X\) la variable aléatoire, qui à chaque tirage, associe le plus grand des numéros tirés, et \(Y\) celle qui associe le numéro intermédiaire.

1. Déterminer les lois de \(X\) et de \(Y\).

2. Calculer \(E(X)\) et \(E(Y)\).

3. Déterminer la loi du couple \((X,Y)\).

[planches/ex8260] mines PSI 2022 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes de même loi géométrique de paramètre \(p\).

1. Déterminer la loi de la variable \(T=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\) ; préciser son espérance et sa fonction génératrice.

2. Montrer que la variable \(\displaystyle{1\over T(T+1)}\) admet une espérance finie puis la calculer.

[concours/ex4643] escp S 2004

1. Soient \(X\) une variable aléatoire finie ou discrète qui possède une espérance et \(Y\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\left\{ 1,\ldots,p\right\}\). On suppose que \(P\left( Y=i\right) >0\) pour tout \(i\in \left\{ 1,\ldots ,p\right\}\).

   1. Soit \(i\in \left\{ 1,\ldots ,p\right\}\). Montrer que la loi conditionnelle de \(X\), conditionnée par l’événement \((Y=i)\) admet une espérance qu’on notera \(E(X/Y=i)\).

   2. Prouver la formule suivante : \(E(X)=\sum\limits\limits_{i=1}^{p}E(X/ Y=i)P\left( Y=i\right)\).

2. Soit \(n\) un entier non nul. Montrer que l’on a : \(\sum\limits\limits_{k=1}^{n}k^{2}=\displaystyle{n(n+1)(2n+1)\over6}\).

3. Un technicien assure la maintenance de \(n\) machines-outils de même type qui sont alignées. Deux machines consécutives sont distantes d’une longueur \(\ell\). De temps en temps les machines outils s’arrêtent avec la même probabilité et indépendamment les unes des autres et nécessitent un réglage. Après le réglage d’une machine-outil le technicien reste devant celle-ci, jusqu’à ce qu’une autre machine-outil s’arrête (si c’est la même machine qui retombe en panne, il reste à sa place). La variable aléatoire \(X\) est la distance que parcourt le technicien entre deux réglages. On note \(Y\) la variable aléatoire qui prend pour valeur le numéro de la machine devant laquelle se trouve le technicien.

   1. Calculer l’espérance de \(X\).

   2. Déterminer la variance de \(X\).

[probas/ex0169] hec 1995 On considère un entier naturel \(n\) non nul, un réel \(p\) de \(\left]0,1\right[\) ; \(X\) est une variable aléatoire avec \(X\hookrightarrow\mathscr{B}(n,p)\).

Les valeurs prises par \(X\) sont affichées par un compteur défaillant ; lorsqu’il doit afficher 0, il affiche en fait au hasard un nombre compris entre 1 et \(n\) ; sinon il affiche le bon résultat.

Soit \(Y\) la variable aléatoire correspondant au numéro affiché par le compteur. Donner la loi de \(Y\) et \(E(Y)\).

[probas/ex2052] Une pièce équilibrée est lancée trois fois. On note \(X\) la variable qui vaut 0 ou 1 suivant que face ou pile apparaisse au premier lancer, et \(Y\) est le nombre total de faces qui apparaissent. Soit \(Z=X+Y\).

1. Donner la loi de \(Z\).

2. Calculer \(\mathbf{E}(Z)\), et vérifier que \(\mathbf{E}(Z)=\mathbf{E}(X)+\mathbf{E}(Y)\).

3. Calculer \(\mathbf{V}(X)\), \(\mathbf{V}(Y)\) et \(\mathbf{V}(Z)\), et comparer \(\mathbf{V}(Z)\) à \(\mathbf{V}(X)+\mathbf{V}(Y)\).